66 (230)

140

dla |*| < 3. Natomiast szereg stanowiący część osobliwą to szereg geometryczny. Zatem

_J_

V- zL - 2z _    1

2—> 2z"    ,    1    2(z — 1)

n=l    1-- '    '

Z

dla |z| > 1. Ostatecznie sumą badanego szeregu jest funkcja

,, v _ _j£___1_

^J(Z) (3 — z)²    2(z — 1) ’

gdzie 1 < |z| < 3.

mm

SM

Przykład 9.2

Znaleźć rozwinięcie funkcji /(z) w szereg Laurenta w podanym pierścieniu P,

jeżeli:

^{a)    /(z) =} irry ^p = {z 6 c: o < ^|z| < 3)^;

^{b)    /(z) =} 1(7^3)’    ^C: 3<|^-3|<oo};

^c)    f(^z) = ^^Z_i> P = {* € C : 2 < |z + 1| < oo};

^d> ^) = (7TlF^j-^{p = {z€C:1}<^|zl<^2}:

e) /(z) = (z + j J sin j, P = {z € C : 0 < |z| < oo} .

Rozwiązanie

W rozwiązaniach kilkakrotnie wykorzystamy wzór na sumę szeregu geometrycznego, tj. tożsamość

OO

=    gdzie |z| < 1.

n=0

a) Środkiem pierścienia P jest zo = 0, więc rozwijamy funkcję /(z) w szereg Laurenta o

1

środku zo = 0. Ponieważ dla z € P mamy | —

< 1, więc przekształcamy ułamek

z — 3

tak, aby był sumą szeregu geometrycznego o ilorazie, którego moduł jest równy Mamy

¹    -¹    1    1    1 A    V'²"

z — 3 ^_ 3 f. _ i 3 i _ * ^- 3 zL^d \3y ~ ż^3n+i-

a ^{1    1}    — n    _n—n

W | N

Zatem

_ \r^ z^{n 1} 1__z" ¹ „_i=fc _ _1_

^— 2—/ 3"+i ^— 3z    2-J 3"+i    ^{— —} 3~ż~ 2-J

z

3MT-

Dziewiąty tydzień - przykłady

141

b) Środkiem pierścienia P jest zo = 3. W pierścieniu tym mamy |—-—-| < 1, więc

przekształcamy ułamek — tak, aby był sumą szeregu geometrycznego i moduł ilorazu z

3

tego szeregu by! równy

z - 3 1

. Mamy

1 1

z-3+3 z - 3 j ₊    ³

z — 3

z — 3

(-ćl)

ą    __³ V (-1)"³"

z — 3    ' V z — 3 /    2_/(z-3)ⁿ+‘‘

Zatem

* _ ¹    (~¹)'*³ⁿ _ v t-¹)"³" ⁿ+i=* v (~¹)*³

^{n >} z — 3 (z — 3)ⁿ⁺¹    ^{z- 3)"+²    “    z__/ (z — 3

fc = 2

(z-3)* •

c) Szukany szereg Laurenta ma środek zo = —1. Rozkładamy funkcję /(z) na ułamki proste. Mamy

1 1

/(z) = -2-r ₊ -3-

z-1 z + r

Zatem trzeba rozwinąć w szereg tylko pierwszy ułamek. Drugi ułamek jest już składnikiem tego rozwinięcia, tj. ma postać c„(z + 1)" dla pewnego n £ Z. W pierścieniu P 2

mamy

z + 1 1 1

< 1, więc 1 1

2 z — 1    2 z + 1 — 2    2(z + 1) .__2_

z+ 1

W.²"-¹    n+.-*_V    2*^-2

2(z + 1) Vz + 1 /    ^(z + l)"+>    2-,(, _{+ 1})*

'    n—0    nsO    '

1

Jcsl

Zatem

²    , i i    ²

^nz) 2^ (_z+l)k ⁺ 2 z+1 z+l⁺Z^(z + l) k=l    fc=2 ^V '

d) Funkcję /(z) możemy zapisać w postaci

/(*) = ! +

z + 2

1 +

- <1. Zatem

• +

W pierścieniu P mamy zo = 0 oraz 11 11

3 z + 1 ^3zi ₊ i ^3zl-(-i)

OO    OO

^A-ćE(-łr-E