chądzyński3

vi    SPIS TREŚCI

5.1. Rozwinięcie w szereg potęgowy w otoczeniu punktu    83

5.2. Rozwinięcie w szereg Laurenta w sąsiedztwie punktu    90

5.3.    Funkcje meromorficziie w punkcie    92

Rozdział 6. Funkcje regularne    97

6.1.    Twierdzenie o identyczności    97

6.2.    Indeks punktu względem krzywej    98

6.3.    Residua i twierdzenie o residuach dla prostokąta    102

6.4.    Sumowanie szeregów    105

6.5.    Całki niewłaściwe a twierdzenie o residuach    111

6.6.    Całkowanie funkcji wieloznacznych    121

6.7.    Całkowanie funkcji trygonometrycznych    130

6.8.    Twierdzenie o istnieniu gałęzi logarytmu    132

Rozdział 7. Dalsze własności funkcji holomorficznych    135

7.1.    Twierdzenie Rouchego    135

Rozdział 8. Odwzorowania konforemne    139

8.1.    Rodziny normalne    139

8.2.    Odwzorowania konforemne    140

Rozdział 9. Aproksymacja funkcjami wymiernymi    147

9.1.    Małe twierdzenie Rungego    147

9.2.    Twierdzenie Mittag-Lefflera    151

9.3.    Iloczyny liczbowe nieskończone    153

9.4.    Funkcyjne iloczyny nieskończone    160

9.5.    Funkcja gamma Eulera    162

Rozdział 10. O nierozcinaniu płaszczyzny    167

10.1.    O nierozcinaniu płaszczyzny    167

Rozdział 11. Funkcje harmoniczne i subharmoniczne    169

11.1.    Funkcje harmoniczne    169

11.2.    Funkcje subharmoniczne    175

Spis literatury    185

Skorowidz    187

Przedmowa

Niniejsza książka jest trzecim podręcznikiem autora z analizy zespolonej. Jest ona przeznaczona głównie dla studentów matematyki, fizyki i nauk technicznych. Może również zainteresować nauczycieli akademickich prowadzących zajęcia z funkcji analitycznych.

Książka ta zawiera 199 zadań wraz z pełnymi rozwiązaniami do podręcznika autora Wstęp do analizy zespolonej (patrz [Chi]) i jest pomyślana jako jego uzupełnienie. Zadania i rozwiązania zostały podzielone na rozdziały i podrozdziały zgodnie z układem materiału w pierwszych jedenastu rozdziałach [Chi]. Tytuły rozdziałów odpowiadają sobie nawzajem. Czytelnik może rozwiązywać samodzielnie zadania z danego rozdziału po przeczytaniu rozdziału o tym samym tytule z podręcznika Wstęp do analizy zespolonej. Większość zadań ma charakter twierdzeń o niezbyt łatwych dowodach. Można, zatem potraktować niniejszą książkę jako kontynuację zwięźle napisanego podręcznika [Chi], czytać po kolei zadania z rozwiązaniami, zapoznając się z nowymi twierdzeniami i ich dowodami. Z tego powodu postanowił autor odstąpić od tradycyjnej formy zbioru zadań, w której zadama są oddzielone od rozwiązań.

Książka stanowi dość wierny zapis ćwiczeń jakie autor przez wiele lat prowadził do swojego dwusemestralnego wykładu z analizy zespolonej dla sekcji teoretycznej na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego.

Celem książki jest podanie metod rozwiązywania zadań z funkcji analitycznych jednej zmiennej. Zadania w zdecydowanej większości zostały zaczerpnięte ze wspaniałej monografii S. Saksa i A. Zygmunda, Funkcje analityczne (patrz [SZ]). Są to zadania na ogół dość trudne. Pozostałe zadania zachowują ten sam stopień trudności. Szerszy wybór zadań można znaleźć w [Krz] lub [VLA]. Rozwiązania zadań są zaproponowane przez autora.