img001 3

Liczby zespolone

Zadanie 1. Podać postać kartezjańską liczby

l — z

z =

2-2

Rozwiązanie. W mianowniku wyrażenia

1-2

z —

2-2

jest liczba 2 — 2. Obliczamy 2 — i = 2 + i oraz pamiętając, że i² = —1 obliczamy

1-2    (l-i)(2 + i) 2 — 2ż -j- ż — 2²    2 - 2 -(-1)    3 -2

Z =

2-2    (2-i)(2 + i)

Odp. z = | — \i.

4 - 22 + 22 - 2²    4 — (—1)

Zadanie 2. Dla liczby zespolonej z = 1 — y/Śi,

1. obliczyć |z|,

Rozwiązanie. Korzystamy ze wzoru: jeśli z = a + 62, to

|z| = V cl² + b².

Dla liczby z = 1 — >/3, a = 1 i 6 = -\/3. Stąd

2.

\z\ = a/i² + (-'^/3)² = \/r+3 = V4 = 2.

Odpowiedź: z = 2. obliczyć Arg z,

Rozwiązanie. Obliczamy cos ip i sin ip korzystając z wzorów liczby z = a + bi,

dla

COS ip =

a

b

oraz sin ip =

Z punktu 1, a = 1, 6 = —\/3 i |z| = 2. Stąd

cos =

1    . b

—r = - oraz sm ip = 7-z 2    z

a

-V3

Odczytujemy z tabelki wartość .Arg z = ip = |7r Odpowiedź: Arg z = |7r.

1