img003 4

3. podać postać trygonometryczną liczby z, Rozwiązanie. Korzystając z wzoru

2: = \z\(cos <p + i sin (p),

ColCn

gdzie ip = Arg z oraz z punktu 1 i 2, gdzie \z\ = 2 i <p = otrzymujemy

5    . . 5 ,

Z = 2(C0S -7T + l Sin -7r).

O    u

Odpowiedź: 2: = 2(cos |7r + żsin |7r).

4. obliczyć z¹¹.

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru, dla z = |z|(cosy> + isin<p) n E N,

zⁿ =

z^u =

z\ⁿ (cos nip + i sin mp),

otrzymujemy

z|ⁿ(cos 11 ip 4- i sin Ihp).

Z punktu 3, z — 2(cos §7T + i sin |7r), więc

z¹¹ = 2ⁿ(cos 11 ~7r + żsin 11^7r)

Ponadto

oraz

5    55 _in 1

¹¹3^?r = Y^{?T =} 187r+ 3⁷¹”’

1

2

5    ,    1 .    1

COS 11 —7T — COS(187T + -7Tj = COS -7T

3    3    3

. „5    . ,₁₈ ^ 1 >    .1    \/3

sin 11-7T = sin(187r + -ir) = sin -7r =

o    00^

Zatem

z¹¹ = 2ⁿd + ^-i) = 2^ubl + x/3 = 2¹⁰(1 + V3

AA    A

Odpowiedź: z¹¹ = 2¹⁰(1 + y/3i).