5910202081

14

I. PRZESTRZENIE BANACHA

1 < p < oo. Także, jak wiemy z twierdzenia Weierstrassa, funkcje 1, t, t², t³,... tworzą zbiór liniowo gęsty w przestrzeni C[a,b]. Wszystkie te przestrzenie są zatem ośrodkowe. Przestrzenie C(R) i L°°(M) nie są ośrodkowe z tego samego powodu, co przestrzeń t°°

Definicja. Ciąg ei,e2, es,... elementów przestrzeni Banacha X nazywamy bazą topologiczną tej przestrzeni, jeżeli każdy element x € X ma jednoznaczne przedstawienie w postaci zbieżnego szeregu

oo

X =    e_n-

71=1

Jest oczywiste, że baza topologiczna jest zbiorem liniowo niezależnym i liniowo gęstym w przestrzeni. Bazę topologiczną mogą mieć więc tylko ośrodkowe przestrzenie Banacha.

Zbiór ciągów ei, e2, es,... postaci e_n = (0,0,..., 0,1,0,...) z jedynką na n-tym miejscu tworzy bazę topologiczną w każdej z przestrzeni co, (P, 1 < p < oo. Ciekawszy przykład bazy pochodzi od Schaudera.

1.24. Przykład. Baza Schaudera. Niech {to,t\,t2,...} będzie zbiorem gęstym w przedziale [a,b], przy czym to = a, t\ = b, i niech xo(t) = 1, x\(t) = dla t € [a, b]. Funkcję x_n dla n > 2 określamy w sposób następujący. Punkty {to,t\,t2,... ,t_n-\} dzielą przedział [a,b] na podprzedziały, do jednego z nich wpada punkt t_n, oznaczmy ten przedział [a_n,0n\ ■ Jako x_n określamy funkcję równą 0 dla t € [a, a_n] U [(3_n, b], równą 1 w punkcie t = t_n i liniową w każdym z przedziałów [a_n,t_n] i [t_n, f3_n].

Pokażemy, że funkcje xq,x\,X2, ■ ■ ■ stanowią bazę przestrzeni C[a,b]. Zauważmy w tym celu, że x_n(ti) = 0 dla i = 0,1,2,...,n — 1 oraz x_n{t_n) = 1. Wynika z tego, że jeśli funkcja y przedstawia się w postaci jednostajnie zbieżnego szeregu

oo

(!■³)    »(*) = Y. At x_k(t),

k=0

to y(to) = Ao, y(ti) = Aoaro(^i)+Ai, y{t2) = Xoxo(t2)+\ix{t2)+\3,itd. Pozwala to jednoznacznie wyznaczyć współczynniki A&. Udowodniliśmy w ten sposób, że jeżeli przedstawienie (1.3) istnieje, to jest jedyne.

Pozostaje pokazać, że jeśli współczynniki A& określimy w wyżej opisany sposób, to ciąg {y_n} n-tych sum częściowych szeregu (1.3) jest jednostajnie zbieżny do y. Z konstrukcji wynika, że wykresem funkcji y_n jest łamana o wierzchołkach w punktach o odciętych to,t\,t2, ■ ■ ■ ,t_n i pokrywająca się z wykresem funkcji y w tych punktach. Zatem \\y_n — 7/||oo —» 0, bo funkcja y jest jednostajnie ciągła.