5910202093

7

Przykłady przestrzeni Banacha

Istotnie, stosując nierówność Hóldera otrzymujemy

oo    oo    oo

E \^xn+Vn\^P <5^K + !^/nl’’-¹|*nl + X! I¹" + Vn\^P^^l\Vn\ < 71= 1    71=1    71=1

<( E knl^P)^1/”(E l^n + </nl^(,-^1)?)^1/,+

71=1    71=1

1/9

+ (£    ^1/? (E ^ i^b"¹⁾⁹)^1/5 =

i/p

\ 1/9

(Ei w) ^1/P+(Ei^r)^1/P (Ek+w)^1/?-

gdyż (p — l)q = p. To daje nierówność Minkowskiego.

Nierówności Minkowskiego oznacza podaddytywność funkcji || ||_p, a to jest jedyna nieoczywista własność normy. Wynika z niej też, że suma ciągów z i^p także leży w £^p, a więc, że i^p jest przestrzenią liniową. Dowód zupełności jest taki jak dla przestrzeni .

1.11. Fakt. Jeżeli ciąg x = {x_n} należy do HP⁰, po > 1, to należy także do (P dla p > po ^oraz

lim ||ar||_p = ||*||oo.

p—> oo

Istotnie, dzięki jednorodności normy możemy przyjąć max„ |x_n| = 1. Wybierając wskaźnik n₀ tak, aby J2_n>n₀ \^xn\^Po < 1 otrzymamy ^7z>7i₀ \^xn\^p < 1- Zatem x € HP oraz

⁰⁰    1 h

l<(E|x„l^p) <(no + l)^1/p<l + ^. □

Fakt ten wyjaśnia, dlaczego dla normy „supremum” użyliśmy oznaczenia || ||oo. Dodajmy, że z tego też powodu przestrzeń b często oznaczana jest symbolem i⁰⁰.

1.12. Zadanie. Pokazać, że gdy 0 < p < 1, to na zbiorze t^p ciągów sumowal-nych z p-tą potęgą funkcja

⁰⁰    1/77

IIK}||_P= (Ew)

71=1

nie jest normą. Czy (P jest przestrzenią liniową?