CCF20090321010

granej. Dla przykładu, Piotr ma wykonać jeden rzut kością i otrzyma 6 franków, jeśli uzyska 4 oczka. Łatwo obliczyć, że jego nadzieja matematyczna równa s;ię 1 frankowi, tyle bowiem wynosi iloczyn kwoty, którą może otrzymać przez prawdopodobieństwo zdarzenia sprzyjającego (^-).

Rzeczywiście, przypuśćmy, że bankier proponuje grę w kości oferując każdemu wygraną w wysokości 6 franków w przypadku, gdy ukaże się ścianka dowolnie przedtem wybrana przez gracza. Gdyby zakład przyjęło 6 graczy i gdyby każdy z nich stawiał na inną ściankę kości, to bankier musiałby tak czy owak wypłacić 6 franków, ponieważ byłby tu jeden i tylko jeden wygrywający. Aby gra była sprawiedliwa, każdy gracz powinien wypłacić bankierowi 1 franka, nie mą bowiem powodu, iżby jeden płacił więcej czy mniej niż drugi, skoro wszystkie ścianki kości mają jednakowe szanse. Wyprowadzamy stąd wniosek, że wartość nadziei matematycznej każdego gracza wynosi 1. frank.

Należy zauważyć, że wartość liczbowa nadziei matematycznej nie zawsze odpowiada prawdopodobnej czy choćby tylko możliwej wygranej. Na przykład jeśli Piotr zgodził się rzucać kość 11 razy i ma otrzymywać 6 franków ilekroć wypadną 4 oczka, to jego nadzieja matematyczna wynosi 11 franków, mimo iż nie ulega najmniejszej wątpliwości, że takiej akurat sumy w żadnym przypadku nie wygra; wygra bowiem 0, 6, 12, 18, 24, ... franki, zależnie od tego, czy 4 oczka uzyska 0, 1, 2, 3, 4, ... razy. Można stwierdzić, jak się o tym później przekonamy, że przy dostatecznie dużej liczbie analogicznych zakładów Piotr wygrywałby przeciętnie po 11 franków. Toteż mówi się niekiedy, że 11 franków to jego przeciętna lub prawdopodobna wygrana. Mówi się też, że jego wygrana najbardziej prawdopodobna wynosi 12 franków, albowiem, jak łatwo zauważyć, najczęstszym

przypadkiem byłaby wygrana w dwóch rzutach na jedenaście. Ale owa najbardziej prawdopodobna wygrana jest daleko mniej interesująca niż wygrana prawdopodobna, czyli przeciętna.

Wielka zaleta stosowanego w wielu rozważaniach pojęcia nadziei matematycznej polega na tym, że nadzieje matematyczne odnoszące się do dwu jakichkolwiek zdarzeń można po prostu dodawać, bez względu na to, czy odnośne zdarzenia są wzajemnie niezależne, czy też powiązane ze sobą. Toteż posiadacz tych nadziei matematycznych mógłby odprzedać je dwóm różnym osobom i otrzymać dochód równy sumie wartości tych - dwóch nadziei¹.

(10) definicja odchylenia i jednostki odchylenia

Załóżmy, że powtarzamy n razy z rzędu pewną próbę, w której prawdopodobieństwo zdarzenia sprzyjającego wynosi p. Oznaczmy literą q prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, tj. każdego zdarzenia różnego od zdarzenia sprzyjającego; otrzymamy równość p + q — 1.

Jeśli chodzi na przykład o ruletkę, gdzie mamy

36    numerów i zero, prawdopodobieństwo pojawienia się liczby nieparzystej wynosi ~ , a prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, tj. pojawienia się liczby parzystej lub zera wynosi ^ . To samo dotyczy numerów czerwonych, gdyż 18 spośród

37    numerów znajduje się w czerwonych przegródkach.

Jeśli dokonujemy n prób, to liczba prawdopodobna przypadków sprzyjających wynosi np, który to iloczyn rzadko tylko bywa liczbą całkowitą. Oznaczmy faktycznie zaobserwowaną liczbę przy-

1

W książce poprzednio cytowanej można znaleźć przykłady prostych zastosowań pojęcia nadziei matematycznej, zwłaszcza zastosowań do zagadnienia puli.