5910202091

5

Przykłady przestrzeni Banacha

Przykłady przestrzeni Banacha

Podamy tu kilka przykładów typowych przestrzeni Banacha.

1.5.    Przykład. Zbiór b wszystkich ograniczonych ciągów liczb zespolonych

ze zwykłym dodawaniem ciągów i mnożeniem ich przez skalary oraz

normą

IIK}|L = ^supM

n

tworzy przestrzeń Banacha.

Jest oczywiste, że b jest przestrzenią liniową oraz, że || ||oo jest normą. Uzasadnienia wymaga jedynie zupełność przestrzeni b. Jeżeli }, {x^}, ... jest ciągiem Cauchy’ego w 6, tzn. dla każdego er > 0 istnieje takie ko, że

(1.1)    sup \x„ — x™\ < e

dla wszystkich k,m > ko, to dla każdego n = 1,2,3,... ciąg x\,x^_l,x^_l,... jest liczbowym ciągiem Cauchy’ego, jest zatem zbieżny do pewnej liczby zespolonej x_n. Przechodząc w nierówności (1.1) do granicy przy m —* oo otrzymujemy

(1.2)    sup |z* - x_n\ < e.

Tl

Wnioskujemy stąd, że {x_n} jest ciągiem ograniczonym i że jest granicą ciągu {rr^}, {x^}, ... w normie przestrzeni b.

1.6.    Zadanie. Pokazać, że zbiory c wszystkich ciągów zbieżnych oraz co wszystkich ciągów zbieżnych do zera są domkniętymi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni b, są zatem przestrzeniami Banacha w normie odziedziczonej z b.

1.7.    Przykład. Zbiór ć¹ wszystkich absolutnie sumowalnych ciągów liczb zespolonych z normą

oo

II {^n} 111 =

n=1

także tworzy przestrzeń Banacha.

Zupełność przestrzeni i¹ można dowieść podobnie jak zupełność przestrzeni b, należy tylko symbol sup_n zastąpić przez    •