5910202090

4

I. PRZESTRZENIE BANACHA

1.2.    Twierdzenie. Każdą przestrzeń unormowaną można uzupełnić do przestrzeni Banacha.

Dowód: Niech X będzie przestrzenią unormowaną a X jej uzupełnieniem metrycznym (patrz 10.18), tzn. zbiorem klas równoważności ciągów Cauchy’ego. W X można określić strukturę liniową kładąc

[fon}] + [fon}] = [{x„ + y„}},    A [fon}] = [{Az„}]

i normę

ll[W]|| = „¹™₀IMI< □

Uwaga. Udowodnimy później (wniosek ??), że w przestrzeni liniowej so ciągów, dla których tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera, nie da się wprowadzić normy tak, by była w niej przestrzenią zupełną.

Szereg    ^xn wektorów przestrzeni unormowanej nazywa się zbieżny, jeżeli

zbieżny jest ciąg jego sum częściowych s_n = x\ + X2 + ■ • • + x_n i nazywa się bezwzględnie zbieżny, jeżeli    ll^nll < oo.

1.3.    Zadanie. Na to, by przestrzeń unormowana X była zupełna potrzeba i wystarcza, by w niej każdy szereg bezwzględnie zbieżny był zbieżny.

1.4.    Ćwiczenia.

1.    W każdej przestrzeni liniowej można określić normę.

2.    Każdy ciąg Cauchy’ego elementów przestrzeni unormowanej jest ograniczony.

3.    W każdej niezerowej przestrzeni unormowanej istnieje szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny.