123049

Dygresja (przypomnienie z algebry)

Definicja

Niech • ) - przestrzeń unormowana nad ciałem K g :X -+ K

Wtedy g jest formą kwadratową Jeśli 3 G e £^(X_yK)_tG - symetryczna i takie, że

g(/i) = G(M) V heX.

Definicja

g - określona dodatnio <=> gU0 >0V/ieJ\tóJ g - określona ujemnie <=> g(h) < 0 V heX\\0} g-półokreślonadodatnio<=> g(h) ^ 0 V heX g - półokreślona ujemnie<=> g(h) ^ 0 V /;e I

Twierdzenie Sylwestera (o okresioności formy kwadratowej)

Zal: A - macierz formy kwadratowej g

A = [fy 1 _n, gdzie a_tJ e R dla ij =

=det[fl_ł/l ., _k dla /: = l,...,/i

T T

minory wyznaczniki główne podmacierzy

Teza: 1° fonna g-jest określona dodatnio V(t = l,...,w: </*>().

(wszytskie minory (wyznaczniki) główne są większe od zera)

2° forma g jest określona ujemnie <=> VA = 1,...,«: (-l)*^/_ł>0.

Twierdzenie (o pólokreśloności formy kwadratowej)

Zal A- macierz formy kwadratowej

^{A =}    g^e a_veR dla ij= 1,...,«

<tk ^{= det}M.,_M dla k = l_y...,n

Teza: 1° g - półokreślona dodatnio <=> V k = 1,^0

2° g - półokreślona ujemnie <=> V = l,...,w: (-1)* d_k £ 0

Koniec dygresji

2