P4130263

Równania nMM

Dowód.

Niech X(°) g Q_b. Indukcyjnie pokażemy, że wszystkie X<ⁿ> e Q_b Niech dla pewnego n, X<'¹> e Q_b. Ponieważ b < a, to g fi_a. Biorąc w (ii) ^1 = r, X₂ = X<ⁿ> otrzymujemy

||F(r) - F(X<ⁿ>) - f^(X<">)(r — X<'^?>|| < a₂||X(ⁿ> - r||².

Ponieważ F(r) = 9 i F(X⁽ⁿ⁾) = -F^,(X^ⁿ⁾)(X⁽ⁿ⁺¹⁾ - X⁽ⁿ⁾), to

j|F^,(x<”>)(X<ⁿ⁺¹> - r)j| < ą>||X("> - r||².

|Korzystając z (i) otrzymujemy

||X(ⁿ⁺¹> - r|| = |{F'(X(ⁿ>)-¹F'(X<ⁿ>)(X<'^H'¹> - r)||

<    ||F^,(X(">)-¹ jj • ||F^,(X⁽ⁿ⁾)(X⁽ⁿ⁺¹⁾ - r)||

<    a₁ a₂||X⁽ⁿ⁾ - r||² = c||X⁽ⁿ⁾ - r|{².

>tąd ||XCⁿt¹)—r|| < cb² = cb - b < b, a więc X<^#H‘¹> e Q_b, c.n.d. indukcja

©Zbigniew Bartoszewski (Politechnika Gdańska)