1629289591

10 1. Wiadomości wstępne

Niech p = (pi,p2,...p_n) i 9 - (91,92, -9n) G H Niech r G [0,1].

Pokażemy, że rp + (1 — r)q € H

E"=i a.iPi <b => E"=i “i (^rPi) <

E?=i ^ai qi< b =*• E?=i ^ai((! “ ^r)9») < (1 - r)b E"=i di [rPi + (1 — r)9i] < b =» rp + (1 — r)g G //

□

Twierdzenie 1.5. Część wspólna zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym .

Dowód. Niech A — tliAi będzie przecięciem zbiorów wypukłych. Weźmy dwa punkty p i 9 ze zbioru A. Wówczas G Ai oraz q G Ai. Z wypukłości wynika, że odcinek pq C Ai. Zatem, wobec dowolności wyboru indeksu i, odcinek pq C A    □

Przedstawimy teraz szereg faktów o rozdzielaniu zbiorów domkniętych.

Lemat 1.1. Niech A będzie zbiorem wypukłym i domkniętym i p G Rⁿ\A.

Wtedy istnieje taki punkt 9 G A, że odległość g(p, 9) = g(p, A) = inf g(p, 9)

q€A

Dowód. Weźmy dowolny punkt x G A. Rozpatrujemy AC\K (p, g(p,x)) = A'. Wtedy g(p, A) = g(p, A'). Zatem bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że zbiór A jest zwarty.

Niech q\, 92,--. będzie takim ciągiem punktów G A że limg{p,q{) = g(p, A).

Jeśli A jest zwarty to z q_n możemy wybrać podciąg 9^, qt₂, ... zbieżny do pewnego punktu q. Wtedy g(p,q) = limg(p,qi_j) = g(p, A).    □

Twierdzenie 1.6. Jeśli A jest zbiorem wypukłym i domkniętym zaś p & A to istnieje półprzestrzeń H, taka że Ad H i p $ H

Dowód. Niech q G A będzie takim punktem, że g(p, A) — g(p, q).

Wiemy, że (p — q) • (p — q) > 0, gdzie x • y oznacza standardowy iloczyn skalarny. Zatem: p»p-2q»p + q»q>0

\p»p-q*p + q*q-\q*q> o \p*p — \q*q >q*p — q*q = q*(p — q)

analogicznie — \p»p + p»p — q*p+ \q*q > 0

-\p*p+\q*q> -p»p + p»q =-p»(p-q)

Przyjmijmy H = {x G Rⁿ \ x • (p — 9) < ^(p»p) — 5(9*9)}. H jest półpłaszczyzną zawierającą 9 i nie zawierającą p. Jej brzeg dH = {x G Rⁿ \ x • (p — 9) = \{p*p) — \{q*q)}, jak łatwo policzyć, jest symetralną odcinka pq.

Przypuśćmy teraz, że istnieje punkt q\ G A \ H. Wtedy na odcinku 9T9 istnieje punkt 92 G dH. Trójkąt q,p, 92 jest równoramienny a ponieważ <72 G A, z wypukłości, to jego najkrótszym bokiem jest pq. Zatem wysokość opuszczona z wierzchołka p ma spodek 53 na boku q\q. Otrzymaliśmy sprzeczność bo 93 G A oraz g(p, 93) < g(p,q). Zatem Ad H.

□