MATEMATYKA009

10 I Wiadomości wstępne

PRZYKŁAD 2.1 Wykonajmy działania:

a) (3,0) + (-l,2)(1,-l) = (3,0)+(l,3) = (4,3),

b)    (-2,2)(—1,3) — (0.1)(-1,2) = (-4, -8) - (-2, -1) = (-2,-7),

(2,3)    -1 5

Zauważmy, te w zbiorze liczb zespolonych (tak, jak to było w zbiorze liczb rzeczywistych) wykonalne są wszystkie cztery działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (z wyjątkiem dzielenia przez zero),

POSTAĆ KARTEZJAŃSKA LICZBY ZESPOLONEJ

Liczby zespolone, których następniki są zerami, utożsamiamy z ich poprzednikami i przyjmujemy:

(x,0)= x.

Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy literą i. Zauważmy, że

i² = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1.

Zatem (0,1) = i jest taką liczbą zespoloną, której kwadrat jest równy -1.

Ponieważ

(x, y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (0, l)(y,0) = x + iy, więc każdą liczbę zespoloną z « (x,y) można przedstawić w tzw. postaci kartezjańskiej

z = x + iy,

gdzie i oznacza jednostkę urojoną Liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą, a y - częścią urojoną liczby z i przyjmujemy oznaczenia

x = rcz, y = im z.

Na przykład liczby z, = (1,-2), z₂ = (0,3), z₃ = (2,0) mogą być zapisane w postaci z, = 1 -2i, z₂ = 3i, z₃ = 2.

Z przyjętych wyżej oznaczeń i równoważności (2,1) wynika, że dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wledy, gdy ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe:

(z, = z₂) o (rcz,=rez₂ Aimz, = imz₂)

Zgodnie z definicją sumy, iloczynu, różnicy i ilorazu liczb zespolonych, dla liczb postaci z,=x,+iy, oraz z₂=x_;i+iy-₁ otrzymujemy:

z,+z_! = (x,+x,) + i(y,+y_J), z,z, -(x₁x_!-yiy,) + i(x₁y₁ + y,xj), z,-z, = (x, -x₂) + i(y, -y,).

h _ ^xi^x2-*-y_ly_i

z₂ x*+y’

+ 1

».*Ł.

Mi

*;+y₂

^x2⁺ yl > o.

Stąd wynika, żc działania na liczbach zespolonych w postaci kartc/jańskiej wykonuje się w taki sposób jak na dwumianach, pamiętając, żc r = -1.

PRZY KŁAD 2.2 Dane są liczby z, = 3 + 5i, z₂ = I - i. Obliczymy sumę, różnicę, iloczyn i iloraz tych liczb.

z, fz₂ = (3 + 5i) + (l-i) = 3 i 5i + l-i — 4-t-4i, z,-z₂=(3 + 5i)-(l-i) = 3 + 5i-l+i = 2 + 6i,

z,z₂ =(3 + 5i)(l-i) = 3-3i ł 5i-5i² = 8 + 2i,

z, _ 3-hSi _ (3 + 5i)(l + i) _ -2 + 8i _    .    _m

z₂ 1-i " (l-i)(l+i)    2

Liczby, których części rzeczywiste są równe, a części urojone są liczbami przeciwnymi, nazywamy liczbami sprzężonymi. Liczbę sprzężoną do liczby z oznaczamy symbolem z. Zatem liczbą sprzężoną do liczby z - x + iy jest liczba ź = x - iy.

Na przykład, jeżeli z, = 2 - 3i, z, = 1 -t 5i, z₃ = 2i, z₄ = -5, to ż, = 2 + 3i, ź₂ = 1 - 5i, z_} = -2i, ź₄ = -5.

PŁASZCZYZNA ZESPOLONA. Niech będzie dana płaszczyzna z ustalonym na mej prostokątnym układem współrzędnych. Przyporządkujmy liczbie zespolonej z = x + iy punkt P płaszczyzny o