59477 MATEMATYKA015

22 I Wiadomości wstępne

a) Obliczamy:A = b² -4ac = -8i = 8(cos(-7t/2)-ł-isin(-Tt/2)).

Zgodnie ze wzorem (2.8) wyznaczamy liczby 5_k = -n/a :

5, = 2>/2(cos(--7i/4) + isin(-7t/4)) = 2(1-i),

5₃ = 2V2(cos(37t/4) + i sin(37t/4)) = -2(1 - i).

Zatem pierwiastkami równania a) są liczby

_Zi=i±m₌₂_i, z,.ł=ę=a.,.

b)    Ponieważ A = (2-2i)²+4i(i+2) =-4, >/A=±2i,więc

—2 + 2i + 2i .    -2 + 2i -2i

z, 2i    ^{2 + I}’ ^z2- 2i ⁼'-

Pierwiastkami równania b^sąłiczby z, = 2 + i, z₂ = i.

c)    Obliczamy:    A = -36, VA=±6i. Zatem pierwiastkami

równania c) są liczby z, =    — = 14- 3i, z₂ =    ~ = 1 - 3i.

d)    Ponicw^ A = (2-2i)^ + 8i = 0, więc równanie ma pierwiastek

podwójny z = 1 - i.    ■

FUNKCJA WYKŁADNICZA ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Funkcję wykładniczą f(z) = e\ oznaczaną też cxpz , definiujemy wzorem :

ikf

expzae* = e^x(cosy + i siny), gdzie z = x + iy oznacza dowolną liczbę zespoloną,

Korzystając z tej definicji obliczamy:

e^m = e°(cos7t +• i sin 7t) = -1,    e²ⁿ‘ = e⁰(cos27i + i sin 27t) = 1,

m

e² =c°(cos(7t/2) + isin(7c/2)) = i_ł e^U3m = e(cos3TC + isin37i) = e.

Dla dowolnych liczb zespolonych z, .Zj, z wykazuje się, źc:

eV²=e^z,+3\ e^z*0, e^z+2Ri=e^z.

Ostatnia z wymienionych własności oznacza, źe funkcja wykładnicza e⁷ jest funkcją okresową o okresie urojonym 2Tri.

PRZYKŁAD 2.7 Wyznaczymy zbiór tych z, dla których (\inkcja wykładnicza f(z) = C^z przyjmuje wartości rzeczywiste.

Niech z * x + iy. Wówczas

e^z = e^x(cosy + i sin y) = e^x cosy + ie^x?in y.

Ponieważ

(ime^/ = e^xsiny = 0) o (y = k7t, k-liczba całk), więc wartości funkcji wykładniczej f(z) = e^z są liczbami rzeczywistymi dla z = x + kra, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, a x - dowolną liczbą rzeczywistą. Czytelnikowi pozostawiamy interpretację gcometryczą tego zbioru.    ■

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ. Dla dowolnej liczby zespolonej z przyjmujemy:

def I    def 1

sin z = — (e^B-e‘“),    cosz = -(e^,z+e'^u).

W szczególności, gdy z jest liczbą rzeczywistą, czyli z = x, po prawej stronie tych wzorów otrzymujemy odpowiednio sinx i cosx.

Z powyższych wzorów wynika natychmiast, że

e^,z = cosz-fi sin z.

Łatwo sprawdzić, że dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzą równości:

sin² z + cos² z = 1,

sin(-z) = -sin z, cos(-z) = cosz, sin(z + 2)i) = sin z, cos(z+27t) = co$z.

Ponadto

(sin z = 0)o(z= krt, k - liczba całk ),

(cosz = 0) o (z = ^ + kre, k- liczba całk.).

Z powyższego widać, że pewne własności rzeczywistych funkcji trygonometrycznych są nadal prawdziwe dla funkcji zespolonych