CCF20140608005

28 2. Układ iterowanych odwzorowań (IFS)

2) istnieje takie A E (0,1), że dla dowolnych x_b,x₂ E X i dla z_a,z_b E Z zachodzi warunek Lipschitza

(2.9)

p(f(x₁;z_a),f(x₂;z_b)) < Ap(x₁,x₂) + ocp_z(z_a,z_b)

gdzie oc 0.

Wówczas dla każdego z E Z istnieje w przestrzeni (X,p) dokładnie jedno rozwiązanie x(z) równania x = f(x-,z) i zachodzi oszacowanie

(2.10)

a więc rozwiązanie x(z) jest funkcją ciągłą parametru z.

2.3. Metryka Hausdorffa

Zajmiemy się teraz przestrzenią, której elementami będą „obrazki na płaszczyźnie", a mówiąc poważnie, podzbiory zwarte punktów płaszczyzny lub, ogólniej, podzbiory zwarte przestrzeni metrycznej.

Niech (X,p) będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną. W zdecydowanej większości przytoczonych poniżej przykładów będzie to płaszczyzna R² z metryką euklidesową. Oznaczmy przez    zbiór, którego elementami

są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni X. Jeżeli A i B są elementami zbioru ,Xf(X), to suma A U B również jest elementem tego zbioru. W zbiorze M^J{X) definiuje się tzw. metrykę Hausdorffa [7], [17],

Niech x i y będą elementami, a A i B zwartymi i niepustymi podzbiorami przestrzeni X (czyli elementami zbioru ,2f’(X)), przy czym x E A i y 6 B. Jeśli p(x,y) oznacza odległość między elementami x i y, to wyrażenia

d(x,B) = min_y{p(x,y): y E B}

d(y,A)=mm_x{p(x,y)\xEA}    '

oznaczają odpowiednio odległość punktu x od zbioru B i odległość punktu y od zbioru A.

Z kolei wyrażenia

d(A,B) = maxx{d(x,B): x E A}

d{B, A) = maxy{d(y, A): y E B}    '

oznaczają odpowiednio odległość zbioru A od zbioru B i odległość zbioru B od zbioru A. Są to na ogół różne odległości (rys. 2.3). Większą z dwóch liczb (2.12) h(A,B) = max{d{A,B), d(B, A)} nazywamy odległością Hausdorffa między zbiorami A i B. Oczywiście, jeśli A C B, to d(A,B) = 0.

Bardziej obrazowe wydaje się jednak inne, równoważne sformułowanie. Niech

!i(A;r) = {z: d(z,A) < r} i U(B;r) = {z: d(z,B) < r} (2.13) oznaczają odpowiednio otoczenia zbiorów A i B, każde o promieniu r.