CCF20140608001

24 2. Układ iterowanych odwzorowań (IFS)

Rozpatrzymy teraz układ czterech zwężających odwzorowań afinicznych z parametrami zebranymi w tablicy 2.1. W pierwszej kolumnie są numery odwzorowań. Dodatkowe parametry s i / zależą od elementów macierzy A i mają następujący sens geometryczny. Każdy odcinek o długości 1 po przekształceniu funkcją (2.1) ma długość nie większą niż s. Każdy obszar o polu równym 1 po przekształceniu ma pole równe J.

Z wykładów geometrii analitycznej wiadomo, że / = |det(A)| jest wartością bezwzględną jakobianu odwzorowania, natomiast s jest normą macierzy A równą pierwiastkowi kwadratowemu z największej wartości własnej macierzy A* A, gdzie A* jest macierzą transponowaną względem A.

Tablica 2.1

Nr	^an	«12	« 21	ć?22	Cl	C2	s	/
1	-0,67	-0,02	-0,18	0,81	0,00	1,02	0,8530	0,546
2	0,40	0,40	-0,10	0,40	-0,04	0,06	0,6217	0,200
3	-0,40	-0,40	-0,10	0,40	0,04	0,06	0,6217	0,200
4	-0,10	0,00	0,44	0,44	0,00	-0,14	0,6263	0,044

Narysujemy na płaszczyźnie xy ciąg punktów

(*o,yo), (xi,yi), (x₂,y2),---,(xn,yn),---    (2.4)

utworzonych w następujący sposób. Punkt (xo,j/o) jest dowolnym punktem płaszczyzny. Losujemy teraz jedno z czterech odwzorowań. Punkt    jest

obrazem punktu (xo,j/o) przekształconego przez wylosowane odwzorowanie. W ten sam sposób tworzymy następne punkty ciągu. Każdy z nich jest obrazem poprzedniego, przekształconym przez każdorazowo wylosowane jedno z czterech odwzorowań.

Efekt takiego postępowania pokazano w dwóch wersjach na rysunku 2.1. Lewy obraz zawiera 10000 punktów, a prawy 600000 punktów. Rysowanie dalszych punktów nie zmienia już prawego rysunku. Ramki obejmują obszar |x| < 2,5, 0 < y < 6.

Taki sam obraz można otrzymać, korzystając z algorytmu deterministycznego. Niech Aq będzie dowolnym zwartym podzbiorem punktów płaszczyzny, na przykład jednym punktem. Przekształcimy Aq każdym z czterech odwzorowań i zbiór tych wszystkich obrazów oznaczymy przez A\. Dla każdego naturalnego n, zbiór A_n określamy jako sumę obrazów zbioru A_n_\ przekształconego każdym z czterech odwzorowań. Ciąg Aq, A\, Ai, ■ . . zwartych podzbiorów płaszczyzny jest zbieżny do „choinki" pokazanej z prawej strony rysunku 2.1.

Dla innej liczby odwzorowań i dla innych wartości współczynników otrzymuje się inne obrazy, na przykład takie jak na rysunkach 1.3, 1.4, 1.9, 2.5.

Zajmiemy się teraz wytłumaczeniem, dlaczego tak prosta procedura rysowania punktów na płaszczyźnie prowadzi do tak nieoczekiwanych rezultatów. Przytoczymy teorię Barnsleya i Hutchinsona wyłożoną w książce Fractals Every-