CCF20140608009

32 2. Uktad iterowanych odwzorowań (IFS)

32 2. Uktad iterowanych odwzorowań (IFS)

(2.18)

(2.19)

Przykład 2.1. Punkty płaszczyzny zapiszemy tak jak liczby zespolone z = x + iy. Rozważmy układ iterowanych odwzorowań określony przez trzy funkcje

, n z    z + 1    2z + 1 +1 a/3

Wl(z) = -,    ^2 = —2~ /    = -₄

Jeżeli przyjmiemy, że jest trójkątem równobocznym o wierzchołkach w punktach 0, 1, (1 + z'\/3)/2 razem ze swym wnętrzem, to pierwsze cztery wyrazy ciągu określonego rekurencyjnie A_n+1 = W(A_n) są pokazane w górnym rzędzie na rysunku 2.4. W pozostałych dwóch wierszach tego rysunku pokazano po cztery wyrazy ciągu, w przypadku gdy początkowym wyrazem jest brzeg Bo lub wierzchołki Co trójkąta Aq. Każdy z tych ciągów jest zbieżny (w metryce Hausdorffa) do trójkąta Sierpińskiego Ara.

Operacja W spełnia warunek Lipschitza ze stałą A = 0,5. Zgodnie z twierdzeniem Banacha, odległość n-tego wyrazu ciągu A_n od granicy Ara wynosi h(A_n,Aoo) ^ 2~ⁿ⁺¹h(Ao,Ai) = 2~(”⁺¹Vv^/3- Oszacowanie to pozostaje prawdziwe, jeśli A będzie zastąpione przez B i nieco się zmienia dla trzeciego ciągu: h{C_n,Coo) ^2~ⁿ.

Łatwo zauważyć, że trójkąt Sierpińskiego o wierzchołkach w punktach 0, 1, (1 + i\/3)/2 spełnia równanie

Aoo = Wl(Aoo) U W₂(Aoo) U W₃(Aoo)

natomiast mniej oczywiste są następne dwa fakty wynikające z twierdzenia Banacha. Nie istnieje żaden inny „obrazek" (zwarty podzbiór płaszczyzny), który by spełniał równanie (2.19), a ciąg określony przez układ iterowanych odwzorowań (2.18) będzie zbieżny do trójkąta Sierpińskiego Aco niezależnie od wyboru wyrazu początkowego (może nim być na przykład dowolny „obrazek" z tej książki).    □

Przykład 2.2. Punkty płaszczyzny zapisujemy tak jak liczby zespolone. Układ iterowanych odwzorowań zawierający dwie funkcje

zui(z) — -0,4z — (1 — 0,1 i),    w 2(2) = (0,76 + 0,4 i)z    (2.20)

określa w przestrzeni J4?(X,h) operację W ze współczynnikiem zwężania A = 0,8588... Dla dowolnego Ao 6 X ciąg określony wzorem rekurencyj-nym A_n+\ = W(A«) jest zbieżny do granicy A«, pokazanej na rysunku 1.9. Spełnione jest równanie

A00 = zvi(Aoo) U w₂(Aoo)    (2.21)

Nietrudno jest rozróżnić (porównaj przykł. 5.7) na rysunku 1.9 obie części za!(Aoo) i W2(Aoo) zbioru Aoo-    □

......_{................................................}........................................