CCF20140608008

2.4. Układ iterowanych odwzorowań 31

2.4. Układ iterowanych odwzorowań

Niech w będzie odwzorowaniem przestrzeni (X,p), np. płaszczyzny euklideso-wej, w siebie. Jeśli x jest elementem, a A podzbiorem przestrzeni X, to w {A) oznacza zbiór wartości w(x), jakie przyjmuje funkcja w dla wszystkich x G A.

Odwzorowanie w jest zwężające w przestrzeni X, jeżeli w(X) CXi jeżeli dla wszystkich X\,x% G X spełniony jest warunek Lipschitza

p(w(x₁),w(x₂)) śsp(x_vx₂) ze stałą Lipschitza s G (0,1).

Definicja 2.5. Zbiór k różnych odwzorowań zwężających nazywamy układem iterowanych odwzorowań albo układem IFS (iterated function system) i oznaczamy przez

{X;w_1/w_2/w_3/...,w_k}    (2.15)

Współczynnikiem zwężania A układu IFS nazywamy największą ze stałych Lipschitza tych odwzorowań: A = max{si,S2,.. -,s_k}.

Układ IFS bywa również nazywany iterowanym układem funkcyjnym lub iteracyjnym systemem funkcji.

Wykorzystując pojęcie układu iterowanych odwzorowań, można zdefiniować operację W działającą w przestrzeni fraktali. Jeśli A jest elementem zbioru JZ(X), to z definicji

W(A) = W\{A) U w₂{A) U ... U w_k{A)    (2.16)

Oczywiście W {A) G JZ{X) dla każdego A G Jf?(X).

Można wykazać [7], że operacja W spełnia w przestrzeni JZ(X, h) z metryką Hausdorffa warunek Lipschitza

h(W{A),W{B)) ^Ah{A,B)    (2.17)

ze stałą równą współczynnikowi zwężania A, a więc jest operacją zwężającą w przestrzeni metrycznej zupełnej. Wynikają stąd wszystkie konsekwencje sformułowane w twierdzeniu Banacha o odwzorowaniach zwężających. W szczególności dla dowolnego Aq G M^j{X, h) ciąg Aq, A\, A₂,... określony zależnością rekurencyjną A_n+i = W{A_n) jest zbieżny do granicy Aoo, która jest jedynym rozwiązaniem równania'A = W(A) w przestrzeni JZ(X,h).

Zgodnie z terminologią wprowadzoną przez Michaela Barnsleya granicę Aoo będziemy nazywali atraktorem układu IFS.

W przedstawionych poniżej przykładach (X,p) jest płaszczyzną euklide-sową, a w konsekwencji przestrzeń Jtf (X, h) składa się z domkniętych i ograniczonych podzbiorów płaszczyzny, z odległością określoną przez Hausdorffa (porównaj rys. 2.3).