1 (33) 3

Zbiory zwarte

39

Gj;

i> wszystkich zbiorów /„. : istnieje r > 0 takie, że ó < r (takie n istnieje, bo o z c) wynika, że /„ c G„

feinego-Borela.

ących własności, to ma on

łtżący do E.

ni kostką ^-wymiarową że b) pociąga za sobą c).

ąc zależność

t ma punktów skupienia

jest punktem skupienia takie, że |x„—x₀| < 1/n.

■ker S będzie zbiorem tych punktów x„. Wówczas S jest zbiorem nieskończonym kr przeciwnym przypadku |x„—x₀| miałby stałą wartość dodatnią dla nieskończenie wielu ■łazników n), x₀ jest punktem skupienia zbioru S i w R^k nie ma innych punktów skupienia Hinra S. Rzeczywiście, jeśli y e R*, y # x₀, to

lx„—y| > |x₀—yl — |x„—x₀l■> |x₀—yl—— > dx₀-yl

■2 Wszystkich n z wyjątkiem pewnej skończonej liczby; to dowodzi, że y nie jest punktem ■■penia zbioru S (twierdzenie 2.20). Wobec tego S nie ma punktów skupienia w E; oznacza k. że zbiór E jest domknięty, jeśli spełnione jest c).

W związku z tym twierdzeniem należy zauważyć, że b) i c) są równoważne w dowolnej ■nestrzeni metrycznej (zadanie 26), ale w ogólnym przypadku z a) nie wynika b) i c). Na kzy kład jest tak w przestrzeni SC², która zostanie opisana w rozdziale 1L Jeden przykład jest p zadaniu 16.

142. TWIERDZENIE (WEIERSTRASSA). Każdy nieskończony ograniczony podzbiór prze-mrzm R^k ma punkt skupienia w R^k.

Dowód. Ponieważ zbiór, o którym mówimy, jest ograniczony, więc zawiera się w kostce k»ymiarowej / a R^k. Z twierdzenia 2.40 zbiór I jest zwarty, dlatego zgodnie z twierdzeniem Mn, zbiór E ma w I punkt skupienia.

Zbiory doskonałe

2.43. TWIERDZENIE. Niech P będzie niepustym zbiorem doskonałym w R^k. Wówczas P jest przeliczalny.

D o w ó d. P jest zbiorem nieskończonym, ponieważ ma punkty skupienia. Przypuśćmy, że F jest przeliczalny i oznaczmy punkty zbioru P przez x_Ł, x₂, x₃, ... Skonstruujemy ciąg •toczeń {Ki} w następujący sposób.

Niech Vi będzie dowolnym otoczeniem punktu Xj. Jeśli V₁ składa się ze wszystkich yeR^k takich, że jy—Xj| < r, to odpowiadające otoczenie domknięte kj jest z definicji zbiorem wszystkich y e R^k, dla których |y—Xj( < r.

Załóżmy, że otoczenie V„ jest zbudowane tak, aby spełniony był warunek, że zbiór V„r>P jest niepusty. Ponieważ każdy punkt zbioru P jest jego punktem skupienia, więc istnieje otoczenie V„₊₁ takie, że (i) V„₊₁ <= V„, (ii) x„ V„₊₁, (iii) zbiór ^,₊₁nP nie jest pusty. Z (iii) zbiór V„₊i spełnia założenia indukcyjne i możemy kontynuować konstrukcję.

Przyjmijmy K„ = V„nP. Ponieważ zbiór V_n jest ograniczony i domknięty, więc jest

CO

zwarty. Żaden z punktów zbioru P nie leży w (j Km ponieważ x„ $ K_n+1. Wobec K_n c P,

B= 1

00

zbiór f) K„ jest.pusty. Ale z (iii) każdy zbiór K_n jest niepusty, a z (i) K„ => K_n+1. To przeczy

n = 1

wnioskowi z twierdzenia 2.36.