4 (4)

84

4. Ciągłość

Aby wyliczyć tę sumę, należy dodać wszystkie c„ o takich wskaźnikach, że x„ < x. Jeśli i lewo od x nie ma punktów x„, to suma jest pusta i, jak wynika z ogólnej reguły, jest róinS zeru. Ponieważ (31) jest zbieżny bezwzględnie, więc porządek w jakim występują jego wyifl nie jest ważny.

Zostawiamy czytelnikowi sprawdzenie następujących własności funkcji /:

a) ./ jest monotonicznie rosnąca na (a, b)\

b)    /jest nieciągła w każdym punkcie zbioru £; rzeczywiście f(x_H+)—f{x„—) = ę_ni\ g

c)    / jest ciągła we wszystkich pozostałych punktach przedziału (a, b).

Co więcej, nietrudno zauważyć, że/(x—) = /(x) dla wszystkich punktów przedziału (o,H

Jeśli funkcja spełnia ten warunek, to mówimy, że jest ona lewostronnie ciągła. Jeśli w (3ll sumowanie byłoby wykonywane dla wszystkich wskaźników n, dla których x„ < x, hI mielibyśmy /(x+) = f{x) we wszystkich punktach przedziału (a, b), tj. / byłaby ciąghl prawostronnie.

Funkcję tego typu można skonstruować w inny sposób: po przykład odsyłamy czytelnik* do twierdzenia 6.16.

Granice nieskończone i granice w nieskończoności

Aby mieć możność działania w rozszerzonym systemie liczb rzeczywistych, rozszerzymjl zasięg definicji 4.1, formułując ją w terminologii otoczeń.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x zdefiniowaliśmy już otoczenie jako dowolny przedział! (x—5, x+$).

4.32. Definicja. Dla dowolnej liczby rzeczywistej c zbiór wszystkich liczb rzeczywistych^! x, dla których x > c, nazywamy otoczeniem punktu + oo i oznaczamy (c, + oo). Analogicznie, zbiór (— oę>., c) nazywamy otoczeniem punktu — co.

4.33. Definicja. Niech będzie dana funkcja rzeczywista / określona na zbiorze K Będziemy mówić, że

f(t)~*A dla t-»x_?

gdzie A i x należą do rozszerzonego systemu liczb rzeczywistych, jeśli dla dowolnego] otoczenia U punktu A istnieje otoczenie V punktu x takie, że zbiór Vn E jest niepusty if (f) e U dla wszystkich t e VnE, t # x.

Niezbyt skomplikowane rozumowanie dowodzi, że definicja ta pokrywa się z definicją 4.1, gdy A i x są rzeczywiste.

Twierdzenie analogiczne do twierdzenia 4.4 jest prawdziwe i w tym przypadku i jego dowód nie wprowadza nic nowego. Sformułujmy je dla pełności.

4.34. TWIERDZENIE. Niechfig będą określone na E. Przypuśćmy, że

f(t)-*A,    g(t)-*B dla t-*X.

Wówczas

^a) f (O^-* 4' implikuje A' = A,