mech2 180

358

ale

^{6 y}' = ~ e£ ^b6b'

stąd.

Q = - t*- a.

B 4c

Otrzymane wyrażenia wstawiamy do równania lagrange'a

_d f §B\ _ 3B _

dt \^0sJ 0B . 8*

'JL

_d^

dt

_ _ -SL ₈

4c ⁸*

Otrzymamy

- ^ ^s - °-

Jest to równanie ruchu wahadła matematycznego o długości 1 = 4c.    Wynika

stąd wniosek, że punkt na cykloidzie wykonuje ruch harmoniczny o okresie

t = 2

Zadanie 10 (rys. 271)

Koło zamachowe obraca się w płaszczyźnie poziomej. Wzdłuż jednego z ramion tego koła może się przesuwać bez tarcia masa m, połączona z piastą koła sprężyną o Btałej k. Moment bezwładności koła względem osi równa się I. V stanie nienaciągniętym sprężyna ma długość 1. Obierając jako współrzędne uogólnione wydłużenie sprężyny z i kąt obrotu koła, wyznaczyć równania ruchu układu.

Rozwiązanie

Jest to układ o dwóch stopniach swobody. Współrzędne uogólnione to wydłużenie Bprężyny x. i kąt obrotu koła <p. Eędziemy korzystać z dwóch równań La-grange a:

_d_ / dE dt Id^T

3x

Sc*

2S - q .

0 9    9

Rys. 271

Energia kinetyczna układu

*2 2

! . I X. . m _T.

\

Prędkość masy m składa się z prędkości względnej ± i prędkości ruchu obrotowego 1 <p

E=-3-I(p² + -|-mi²+~_rm(l + x)²ę ²,

Stąd

,2 .

~r = X q) +• m (l + x) cp , o<p

= o,

es

n

Wyznaczymy siły uogólnione

= —ki (siła w sprężynie).

V °’

Równania Lagrange'a: dla współrzędnej i

dla współrzędnej <p

^ (mi) - m (1 + x) <p² = -kx, mi — m (l^+ i) <p + kx = 0;

^ ^Im łu(l+ x)²<pj ⁼ °*

Oczywiście zarówno w tym zadaniu, jak i w poprzednich, w których występują tylko siły potencjalne, możemy otrzymać te same równania różniczkowe korzystając z równanie, Lagrarsge 'a w postaci:

_d_

dt

i) “ ^dM^{= Ct}

przy czym H = E — U,

E - energia kinetyczna, U - energia potencjalna.

Zadanie *11

Suwak A o masie m-q może przesuwać się po gładkiej poziomej prowadnicy. Z suwakiem jest połączony przegubowo pręt o długości 1 z umieszczonym na końcu ciałem o masie mg* Zbadać ruch układni, zakładając że masa pręta jest pomijalnie mała i traktując oba ciała jako punkty materialne.

Rozwiązanie (rys. 272)

Układ ma 2 Btopnie swobody. Jako współrzędne przesunięcie suwaka A oraz kąt obrotu pręta.

uogólnione przyjmujemy