1109145326

Wstawiamy do równania: (ar + bt)" — 2(ar + bt)' = At, 2a — 2(aż + 6) = 4t, —4at + (2a - 26) = 41,

A stąd a = b = — 1 , więc CSRN = —t² — t.

Przykład 1.11 Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego x+x = 2cos(t) spełniające warunek początkowy a:(0) = l,x = 0.

1.    Równanie jednorodne. x + x = 0.

Wielomian charakterystyczny A² + 1 = 0 , A = —4 < 0, A = ±i. A zatem rozwiązaniom bazowymi są cos(f) , sin(f) skąd CORJ = A cos(i) + B sin(i).

2.    CSRN

Po prawej stronie nie występuje e^at czyli a = 0 a ponadto jest cos(t) czyli 0 = 1 A więc sprawdzamy czy z = a + (3i = 0 +li = i jest pierwiastkiem równania charakterystycznego. JEST! I to jednokrotnym czyli szukamy CSRN = t(A cos(t) + B sin(£)). Aby wyznaczy A, B obliczamy pochodne

(CSRN)' = (ż(y4cos(t) + Bsin(f)))' = {A + Bt) cos(<) + {B — At) sin(ż)

{CSRN)" = (2B - At) cos(f) - {2A - Bt) sin{t)

i wstawiamy do równania

{CSRN)" + CSRN = 2 cos{t) ; (2B — At) cos{t) — (2^4 — Bt) sin(i) + t{A cos{t) + B sin(ż)) = 2 cos{t) ;

Porównując współczynniki przy takich samych funkcjach trygonometrycznych (!) uzyskujemy A = 0, B = 1 skąd CSRN = t sin(t)

3.    CORN=CSRN+ CORJ =tsin{t) + {Acos{t) + Bsin{t)).

4- Rozwiązanie spełniające warunki początkowe.

Obliczamy {CORN)' = sin(f) +1 cos(f) — A sin(<) + B cos{t) i wstawiamy zadane warunki początkowe. 1 = CORN{0) = A ; 0 = {C0RN)'{0) = B A stąd szukanym rozwiązaniem jest x{t) = t sin(t) +cos{t)