054

54

3. Twierdzenia graniczne

Zadanie 3.1.3.

Zmienne losowe X,(i = 1,2,3,4) są niezależne i tym samym rozkładzie, gdzie EX_; = 1 oraz D¹X₍ = 1. Oszacować Pr (0 < X, +X₂ + X₃ + X₄ < 8).

Zadanie 3.1.4.

Niech zmienna losowa X będzie sumą 10 niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie wykładniczym z parametrem X=2. Korzystając z nierówności Markowa oszacować Pr (X ^ 8), a korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować Pr (3 < X < 7).

Zadanie 3.1.5.

Wykonujemy 100 rzutów symetryczna kostką. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować przedział, w jaki z prawdopodobieństwem 0.85 wpada liczba otrzymanych szóstek.

Zadanie 3.1.6.

Stosując nierówność Czebyszewa oszacowano, że prawdopodobieństwo tego, że liczba N orłów w serii rzutów symetryczną monetą będzie się różnić od swojej wartości oczekiwanej o co najmniej 25% tej wartości oczekiwanej, nie jest większe niż 1/160. Z ilu co najmniej rzutów składała się ta seria?

Zadanie 3.1.7.

Prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest równe 0.25. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo tego, że w 800 niezależnych próbach liczba sukcesów będzie większa niż 150, a mniejsza niż 250.

Zadanie 3.1.8.

Niech X będzie dowolną zmienną losową o wariancji a¹. Oszacować wyrażenie Pr(|X — EX\ < na). Dla n = 3,4,5 porównać je z prawdopodobieństwem obliczonym przy założeniu, że X ~ N(m, a).

Zadanie 3.1.9.

Niech X_; ~N(i,2), gdzie m_i jest dowolnym ciągiem liczbowym. Sprawdzić, czy dla takiego ciągu zmiennych losowych, zachodzi słabe prawo wielkich liczb.

Zadanie 3.1.10.

Niech Pr (X„ = 1) = Pr (X„ = — 1 ) = /;„, Pr (X_n = 0) = 1 — 2p_n oraz 0 < p_n < 1 /2. Sprawdzić, czy dla takiego ciągu zachodzi słabe prawo wielkich liczb.

Zadanie 3.1.11.

Niech Pr (X_k = k) = Pr (X_k = -k) — ^, Pr (X_k = 0) = 1 - Sprawdzić, czy dla takiego ciągu zachodzi słabe prawo wielkich liczb.

Zadanie 3.1.12.

, Pr (X. = 0) = 1--■=. Rozstrzygnąć, czy dla

yk

Niech Pr (X_k = k) = Pr (X, = -k)

1

1

Vk

takiego ciągu jest spełniony warunek dostateczny na to, aby zachodziło słabe prawo wielkich liczb.