obraz7

nk ; ⁱ⁰v.ev

dla 2>0 (rys. 68), przy czym powierzchni S i konturowi AT nadajemy orientację dodat tzn. bierzemy górną stronę paraboloidy oraz obieg okręgu przeciwny do ruchu wskazd

zegara.

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (11) należy obliczyć całkę

A = | y dx+2dy—xyz dz,

K

gdzie

oraz całkę

K: x =cos t, y=sinr, z= 0,    0<t<2n,

^B i JJE(-*yz)yH2),3 dy dz+[(y)_z - (- xyz)_x] dxdz+ [(2)* - (y)„] dx dy = s

= ff(-xz)dydz+yz dx dz -dxdy, s

gdzie Sjest górną stroną paraboloidy z— 1 —x²—y², z>0. Zatem 2*

A — J [sin t (—sin t)+2 cos t] dt=[—\ (t—\sin 2t) +2 sin    = — it,

o

natomiast całkę powierzchniową obliczymy korzystając ze wzoru (9). Równania 8 metryczne powierzchni S można napisać w postaci

gdzie

x=uco$v, y—u sino, z = l—m², A:    0^m<1,    0<o<2tt.

Stąd

S: r=r(u, o)w«cosoi+«sint>j+(l -u²)k,

przy czym górna strona powierzchni S określona jest za pomocą wektora t_uXt_r Znajdujemy

Kol#?

D(y, z) sino — 2«j P(u,v') u cos a oj

—2m² cos v,