9773562923

Zauważmy, że z pierwszej relacji wynika a^e = ea*, więc element e leży w centrum grupy G„. Grupa ilorazowa G„ = G_n/{ 1, e} jest postaci (oi,...,a_n_j | a? = 1, aiOj = aja,) w C£^_1, więc |G„| = 2ⁿ.

Wyznaczymy wymiary CG_n-modułów prostych. Aby wyznaczyć ich liczbę, zbadamy klasy sprzężoności elementów G„.

Zacznijmy od wyznaczenia centrum grupy G_n. Każdy element grupy G_n jest postaci a? lub e ■ a.T, gdzie dla T C {1,..., n — 1} mamy a? = Iligr ^a> (mnożymy w rosnącej kolejności indeksów). Na mocy ostatniej relacji, mamy

-i fe^|T

^{ra< =} \ el^T

gdy * £ T, gdy i € T.

Zatem, gdy |T| jest dodatnią liczbą parzystą, element ar nie jest centralny, gdyż nie jest przemienny z aj, i € T. Podobnie jest, gdy |T| jest liczbą nieparzystą mniejszą od n — 1, bo wtedy istnieje element a;, i &T, nieprzemienny z ar- Wobec tego centrum zależy od parzystości n: gdy n jest nieparzyste, to Z(G_n) = {1, e}. Gdy n jest parzyste, do centrum należą jeszcze dwa elementy: 0102 • • • a_n_i oraz eaia? ■ ■ • a„_i.

Zauważmy, że klasa sprzężoności w G_n może mieć co najwyżej dwa elementy, gdyż homomorfizm naturalny G„ —> G_n zlepia elementy parami, a różne elementy grupy abelowej G„ sprężone nie są. Zatem, jeśli element g € G_n nie jest centralny, to jego klasa sprzężoności jest postaci {5, tg}-

Z powyższych danych możemy wyznaczyć liczbę klas sprzężoności w G_n. Dla n nieparzystych otrzymujemy 2 + (2” — 2)/2 = 2"^_1 + 1 klas. Dla n parzystych mamy 4 + (2ⁿ — 4)/2 = 2^n_1 + 2 klasy. Na mocy (2.10), mamy dokładnie tyle CG_n-modulów prostych. Pośród nich, mamy 2"^-1 modułów 1-wymiarowych, pochodzących od reprezentacji abelowej grupy ilorazowej G_n/{l,e}. Z naszych obliczeń wynika, że grupa G_n ma jeszcze jedną reprezentację wymiaru d > 1 gdy n jest nieparzyste oraz dokładnie dwie reprezentacje wymiarów di, di > 1 gdy n jest parzyste.

Niech n będzie nieparzyste. Wówczas, na mocy (2.8), mamy

k

2" = |G| = dimCG = ^ nf = 2^n_1 • 1² + d², d = 2<”-¹^².

i=l

Natomiast gdy n jest parzyste uzyskujemy analogicznie

k

2" = |G| = dimCG =    = 2^n_1 • l² + d\ + d%, d\ + d²2 = 2’

Ale na mocy (2,12) wiemy, że dj|2ⁿ. Zatem d\ = d₂ = 2*” ²^².

Wróćmy do naszego zadania: dla jakich n istnieje n-wymiarowa reprezentacja p:G„ —> GL_n(C) taka, że p(c) = -/?

Niewątpliwie CG_n-modul V wyznaczony przez p jest sumą modułów prostych. Jednak w każdej reprezentacji 1-wymiarowej element e przechodzi na 1, zatem takie składniki w V nie mogą się pojawić. Wobec tego V jest sumą pewnej liczby t kopii modułów wymiaru 2^^n_1^² lub 2^^n_2^². Zatem n = dim V = t ■ 2*^n_1^² lub t ■ 2*"^-2^². Ponieważ założyliśmy, że n > 2, to prawa strona jest parzysta, zatem także n jest parzyste. Wobec tego mamy n = t- 2^^n_2^².

Zapiszmy n = 2°s, gdzie a ^ 1 oraz 2 \ s. Wówczas 2^"^_2^²|n,    ^ a, n ^ 2a + 2, 2°s ^ 2a + 2.

Przypomnijmy, że 2“ ^ a+1 dla a ^ 1. Gdyby zachodziła nierówność s 1, to 2a+2 ^ 2^as > 2“-2 ^ 2(a+l), sprzeczność. Zatem s = 1 oraz 2“ < 2a + 2. Ostatnia nierówność jest spełniona dla a = 1,2,3, odpowiednio dla n = 2,4,8. Natomiast gdy a ^ 4 to 2“ ^ 4a, zatem 2a + 2 ^ 2° > 4a, co daje 2 ^ 2a ^ 8, sprzeczność. Wobec tego n = 1,2,3,4 są jedynymi liczbami, dla których poszukiwana tożsamość istnieje. □

6