14076 PC043379

H__

Zauważmy ponadto, że pierwszy czynnik otrzymanego iloczynu jest doda# (wynika tó z założenia), natomiast drugi czynnik jest ujemny (suma dwócfi' ujemnych składników¹ jest ujemna). Stąd iloczyn tych czynników jest ujemny: g(x₂)-g&i) - (*2    +*1) < 0 <^g(x₂) <g(x_x),

a to oznacza, że funkcja g jest malejąca w zbiorze CR".

Analogicznie można wykazać, że ta funkcja jest rosnąca w zbiorze R⁺. < Zauważmy, że w dowolnym sąsiedztwie punktu 0 funkcja g przyjmuje wartości większe od g(Q% tzn. V g(a*) > g (0) <=> V x² > 0, dlatego stwier-,

dzamy. że funkcja g osiąga minimum lokalne właściwe dlax = 0.

Dodatkowo zwróćmy uwagę, że dla funkcjig prawdziwe są również stwierdź® niai,iźjest ona malejąca w przedziałe (-oo,0] i rosnąca w przedziale [0,oo). Jednak wymieniając przedziałymofiotoniczności, będziemy podawać przedziały otwarte.

Ilustracja 1.29. Monotoniczność oraz maksimum i minima funkcji

Przykład 1.63

Wykorzystując wykres funkcji/(ilustracja 1.29), określimy jej przedziały/^ o* .notoniczności:

f * funkcja jest rosnąca w przedziałach: (x₂, x₃) oraz (x₄,co),

•    funkcja jest stała w przedziale (x_ly x₂),

•    funkcja jest malejąca w przedziałach: (-00,a 1) oraz (x₃,x₄),

•    funkcja jest nierosńąca w przedziale: (-00,x₂),

•    funkcja jest niemalejąca w przedziale: (x_t,x₃y.

Dodatkowo możemy stwierdzić, że funkcja /:

•    ma maksimum lokalne właściwe dla argumentu x₃,

•    ma minimum lokalne właściwe dla argumentu x₄,

•    ma minimum lokalne dla każdego argumentu z przedziału

1.4.7. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty przegięcia Kolejną istotną własnością wykresu funkcji jest wypukłość.

Definicja 1.S6

a)    Funkcja/jest w przedziałe(a.ó) wypukła (wypukła ku dołowi), jeśli dte dowolnych punktów x_x ix₂ leżących wewnątrz przedziału (a,b) i liczby X z przedziału (0,1) zachodzi nierówność;

/(X ■ xj + (1 - X) • x,);<X • f(xj)+(l- X)/(*^.

b)    Funkcja/jest w przedziale (a,b) wklęsła (wypukła ku górze), jeśli dla dowolnych punktów x„ x₂ leżących wewnątrz przedziału (a,b) i liczby X z przedziału (0,1) zachodzi nierówność:

/(X • x_t.+(1 — X) *x₂)^ X - /(xj).+ (1 - X> - /(xjV

W praktyce częściej wykorzystujemy pojęcia ścisłej wypukłości oraz ścisłej

wklęsłości.

Definicja 1.57

a)    Funkcja / jest w przedziale (at,b) ściśle wypukła, jeśli dla dowolnych punktowy i x, leżących wewnątrz przedziału{a>i>) i liczby X z przedziału (0,1) zachodzi nierówność:

/(X • x, +(l- X)ć-^)<X/(x₁) + ( 1 - X)/(x,).

b)    Funkcja / jest w przedziale (a.b) ściśle wklęsła, jeśli dla dowolnych punktów*,, x, leżących wewnątrz przedziału (a.b) i liczby X z przedziału (0,1) zachodzi nierówność:

/(X • x_x + (1 -X) -x_z)> a-/(a-,)-t (1 - X)-/(a-₂).

Geometryczny sens powyższej definicji wyjaśniają poniższe uwagi.

W Uwaga 1.27

a)    Funkcja/jest ściśle wypukła w przedziale (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dwóch dowolnych argumentów x,,x₂e (a,b) odcinek o końcach w punktach (x,,/(*,)) oraz (x₂,f(xjf) leży nad wykresem funkcji/(ilustracja 130).

b)    Funkcja/jest ściśle wklęsła w przedziale (a» wtedy i tylko wtedy, gdy dla dwóch dowolnych argumentów*,,x₂ e (a,b) odcinek o końcach w punktach (v„/(*,)) oraz (*,,/(*,)) leży pod wykresem funkcji /(ilustracja 131).