033(1)

jednak określona w pobliżu tych punktów. Z uwagi na to, że pierwszy warunek ciągłości nie jest spełniony, w punktach Xi i xz funkcja jest nieciągła.

Aby obliczyć skok funkcji w wyznaczonych wyżej punktach nieciągłości, obliczymy jednostronne granice funkcji przy zmierzaniu argumentu x do punktów nieciągłości z lewej i prawej strony a) x -» —2:

-►—2—0 X

= + 00

ponieważ dla x -> —2—0 wyrażenie x² 4 jest nieskończenie małą wielkością dodatnią znaku, a jego odwrotność -₂^₄ jest wielkością dodatnią nieskończenie wielką;

lim

*-►-2+0

1

**-4

= —00

ponieważ dla x -* —2+0 wyrażenie x²—4 jest nieskończenie małą wielkością ujemną, a jego odwrotność jest wielkością ujemną nieskończenie wielką. Zatem w punkcie x = —2 skok funkcji jest nieskończony, b) x- 2:

lim

*-►2—0

1

x²—4

= —00

ponieważ dla x -* 2—0 wyrażenie x²—4 jest nieskończenie małą wielkością ujemną, a jego odwrotność _x2\-ę jest wielkością ujemną nieskończenie wielką;

lim    = +oo

*->₂+o xr~4

ponieważ dla x -* 2+0 wyrażenie x²—4 jest nieskończenie małą wielkością dodatnią, a jego odw-rotność jest wielkością dodatnią nieskończenie wielką.

W punkcie x — 2 skok funkcji jest nieskończony (rys. 25).

2)    Funkcja elementarna f₂(x) jest określona na całej osi liczbowej (wprawdzie jest to funkcja wymierna, ale pierwiastki mianownika są zespolone), a więc jest też ciągła na całej osi liczbowej, tzn. nie ma punktów nieciągłości.

3)    Funkcja elementarna /₃(x) jest określona, a więc i ciągła na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktu x = 0. W punkcie x = 0 funkcja jest nieciągła, ponieważ jest określona w dowolnym otoczeniu tego punktu, ale nie jest określona w samym punkcie. Wyznaczmy jednostronne granice funkcji w tym punkcie

1    /V

lim arc ctg = arc ctg (—oo) = 7t

x->—0    X

lim arc ctg — ----- arc ctg (+co) = 0

AT->-f 0    X

Zatem nieciągłość funkcji jest skończona i w punkcie x = 0 funkcja ma skończony skok

lim    lim    /₃(jc)    =    0—n = — n

AT->+0    X-*-— 0

Wykres tej funkcji podano na rys. 26.

4) Funkcja f_Ą(x) jest określona i ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu x = 3. Zatem w punkcie x — 3 funkcja jest nieciągła. Badamy ten punkt nieciągłości

lira ii

*-*3 — 0 X

ponieważ dla wszystkich x < 3 funkcja jest równa — 1;

łim    = 1

x >3,-f 0 X i

ponieważ dla wszystkich x > 3 funkcja ta jest równa -|-1.

Zatem w punkcie x = 3 funkcja ma skończoną nieciągłość; skok funkcji w punkcie nieciągłości jest skończony i wynosi

lim /„O)- lim f_Ą(x) = 1 — (— 1) = 2

*->3-ł-0    x->3—0

5 Metody rozwiązywania zadań 65