3813100774

Warto zauważyć, że obliczana w ten sposób wartość c jest dodatnia. Interpretujemy to jako falę rozchodzącą się w dodatnim kierunku osi OX.

Równanie fali

y(x, t) = A cos [u • t + k ■ x + ao],    (18)

jak łatwo się o tym przekonać bezpośrednim rachunkiem, opisuje falę rozchodzącą się w ujem-

U)

nym kierunku osi OX, ponieważ jej prędkość falowa c = ——(0.

Zadanie 9. Sprawdzić ostatni wynik samodzielnie.

Qy    d²y

Zadanie 10. Wyznaczyć prędkość poprzeczną v_y = — oraz przyspieszenie a_y = cząsteczek ośrodka dla x = const fali (13). Ile wynoszą wartości maksymalne wyznaczonych wielkości? Dla jakich chwil czasu v_y oraz a_y przyjmują wartości ekstremalne? Czy spełniona jest relacja: a_y = -ui²y

Zadanie 11. Fala biegnąca w sznurze ma postać y{x,t) = 0,35m sin(107rf — 37ra: + 7t/4). Ile wynosi prędkość c i jaki jest kierunek rozchodzenia się tej fali? Jakie jest wychylenie punktów ośrodka dla t = 0 i x = 0,10 m? Ile wynosi długość i częstość tej fali? Ile wynosi maksymalna wartość prędkości poprzecznej?

Na zakończenie tego podrozdziału podamy jeszcze kilka użytecznych wyrażeń.

Równanie jednowymiarowej fali płaskiej tłumionej ma postać

y{x, t) — Ao exp(—7t) cos(wt — kx + ao),    (19)

gdzie 7 - współczynnik pochłaniania fali przez ośrodek sprężysty. Podane wyrażenie uwzględnia tłumienie fali monochromatycznej, za które odpowiada rozpraszanie (mówimy także dysypacja) energii fali (patrz dalej) w ośrodku sprężystym. Zmiejszanie się energii płaskiej fali monochromatycznej - co przejawia się jako malenie amplitudy drgań fali - jest spowodowane pochłanianiem przez cząsteczki ośrodka energii fali oraz innymi procesami termodynamicznymi, którym towarzyszy zamiana energii fali w ciepło.

Równanie fali sferycznej (bez uwzględniania pochłaniania), nazywanej tak z uwagi na sferyczny kształt powierzchni fazowych, ma postać

(20)

u(r, t) = ^4(r) cos(cot — kr + ao) = — cos(a>t — kr + ao).

Przytoczoną tutaj zależność A(r) amplitudy od odległości jest stosunkowo łatwo zrozumieć, jeśli zauważyć, że całkowita moc energii przechodzącej przez jednostkę powierzchni ustawionej w odległości r od źródło fali sferycznej jest proporcjonalna do A²(r). Całkowita moc fali emitowanej przez źródło fali sferycznej nie zależy od r i w odległości r od źródła jest proporcjonalna

do A² ■ 4nr². Ponieważ A² ■ 4nr² = const, więc A(r) ~ —.

r

Innym rodzajem równania fali może być zależność typu

^y(^X,t) (B • x — D • t)³ + E’

gdzie A, B, C, D stałe i dodatnie współczynniki liczbowe (jakie są ich wymiary?), które opisuje propagowanie się (w prawo) pojedynczego impulsu (garbu) w ośrodku sprężystym, o czym możemy się przekonać sporządzając wykresy zależności y(x, t) dla kolejnych chwil czasu (np. dla t = 0,1,2,...). Dodajmy, że y ma wymiar metra.

Zadanie 12. Narysować wykres (21) jako funkcji x dla wybranych chwil czasu. Co przedstawiają otrzymane wykresy?

Zadanie 13. Wyznaczyć wymiary wielkości A, B, D, E występujących w (21)

Zadanie 14. Wyznaczyć prędkość rozchodzenia się impulsu (21).

Zadanie 15. Jaki obiekt falowy opisuje równanie

A

(B • x + D • t)² + E'

(22)

y(x, t)

11