1105140246

ROZDZIALI. RACHUNEK ZDAŃ

Z powyższej definicji można wyprowadzić kilka podstawowych faktów o rodzinie wszystkich zdań.

Przykład 1.1 Jako przykład pokażemy, że w każdym zdaniu występuje parzysta liczba nawiasów. Rozważmy mianowicie rodzinę O tych wszystkich wyrażeń, które mają parzystą ilość nawiasów. Wtedy rodzina zmiennych zdaniowych zawiera się w rodzinie O., bowiem zero jest liczbą parzystą. Zauważmy następnie, że jeśli wyrażenia <p i ip są elementami rodziny fi, czyli mają parzystą liczba nawiasów, to również wyrażenia (p A ip), (p V ip), (p —>■ ip), (p ip) i -iip mają parzystą ilość nawiasów. Zatem każde zdanie jest elementem rodziny D, co kończy dowód.

Wartościami logicznymi nazywamy symbole 0 i 1, które interpretujemy jako fałsz i prawdę. Na zbiorze wartości logicznych {©, 1} określamy działania A, V, =>, oraz -i: za pomocą następującej tabelki:

p	q	pAq	P V q	p=^q	p<S>q	“■P
1	1	1	1	1	1	0
1	0	©	1	©	0	©
0	1	©	1	1	0	1
©	©	©	©	1	1	1

Czytelnik powinien zwrócić uwagę na rozróżnienie miedzy spójnikami logicznymi A, V, —-f*, -i oraz działaniami A, V, =>, oraz -i.

Definicja 1.2 Waluacją nazywamy dowolny ciąg tt = (wo,wi,W2, • •.) wartości logicznych.

Dla dowolnego zdania ip oraz dowolnej waluacji 7r = (wo, w\, W2, ■ ■ •) możemy określić wartość n(ip) waluacji 7r na ip. Proces ten nazywamy wartościowaniem zdania zdania ip na zadanej waluacji n.

Definicja 1.3 (Wartościowanie) Niech n będzie waluacją. Dla dowolnej zmiennej zdaniowej pi określamy tt{pi) = Wi. Jeśli p oraz ip są zdaniami i określone są już wartości 7t(p) oraz tt{ip)), to

1.	*(T)	= 1,
2.		= ©,
3.	7t{ip A ip)	= 7t(p) A 7r(ip),
4.	ir(p V ip)	= 7x{p) V 7t(ip),
5.	n(p —ł Ip)	= 7T(p) => 7t(lp),
6.	7r(p 0 ip)	- n(p) 7r(ip),
7.	n {-V)	= ->Wv)).

Powyższa definicja może wyglądać na nieco skomplikowaną. Lecz tak w istocie nie jest. Stanie to się z pewnością jasne już po prześledzeniu pierwszego przykładu.

Przykład 1.2 Niech 7r = (1,0,1,1,1,1....) oraz niech p = ((po V pi) A (~'P2))-Wtedy

7r(¥>) = 7r((po vpi) A (—'P2}) = n(po Vpi) Airfppi) = (tt(po) V 7r(pi)) A -\{it{p2)) = (1 V 0) A “'(l) = 1 A 0 = © .