DSC07300

22

Liczby zespolone

e) W rozwiązaniu wykorzystamy wzór

= arg — arg 23 + 2A*tt

dla pewnego k £ Z, gdzie 21,23 € C oraz 22 # 0. Ponieważ arg: = więc równość

"5

— jest równoważna równości 4

3jt

4

r

2

arg 2 + 2Ltt =

dla pewnego k £ Z. Ale 0 $ arg 2 < 2x, więc tB 1. Stąd arg2 = -j-. Szukanym zbiorem jest półprosta (bez początku) wychodząca z punktu ) i tworząca kąt z dodatnią częścią osi Re 2.

f) W rozwiązaniu wykorzystamy wzór arg (—2) = arg 2 + tt + 2A:7r, dla pewnego k £ Z, gdzie 2 € C. Nierówność

jest więc równoważna nierówności

~ $ arg (2 - 3x) + rr + 2Anr $ ^ dla pewnych k £ Z. o    o

Ale 0 $ arg (2 - 3*. < 2x, więc powyższa nierówność ma sens tylko dla Ar = -1. stąd otrzymujemy zależność

5x    K5 llw

«rg(i-30$—.

Otrzymana nierówność określa domknięty obszar kątowy o wierzchołku w punkcie zo = 3i (bez tego wierzchołka), ograniczony pół prostymi tworzącymi kąty - — oraz -j z dodatnią częścią osi Re 2.

• Przykład Ul

podać w postaci algebraicznej): c) (-2 + 2i)⁸;

/ TT " . . ir\łś

f) ^-oofly-f- tein -J .

Obliczyć wartości podanych wyrażeń (wynik

b) (i/3-i)”;

a) (1 t i)⁷;

d) (eon 33° -f isin33°)^ł0;

Przykłady

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy wzór de Moivre'a

zⁿ = rⁿ (cos + i sin nip), gdzie r = |z|_t tp = arg z oraz n € N.

a)    Dla z = 1 -I- i mamy |z| = /2 oraz argz = Zatem

4'

(l+f)^T= [>/2 (cos ^ + isin j)] = (y^⁷ • (cos+isin

= 8v^(cosf-f_si„I)=8V2(f-4)₌8^8,

b)    Dla z = y/3 — i mamy |z| = 2 oraz argz = Zatem

6

(V3 - 0" = | (cos §- + ■ SE)] ‘" = 2» (cos ™L + isin ifS) = 2ⁿ (cos f-I-isin    = 2³⁵ (-cos|+i_Sin0

_{= 2}»|ik_ł._i^V₌₂»>₍,V5^i). -

3-

c) Dla z = — 2 + 2i mamy |z| = 2y/2 oraz arg z = —Zatem

(—2+2i)⁸= f2>/2 (cos — + i sin    = 2^l3(cos6;r + i sin 677) =2¹³ (cos 0 +isin0)=2¹³.

d)    Dla z = cos 33° + i sin 33° mamy |z| = l oraz argz = 33°. Zatem

Fk 1

(cos 33° + i sin 33?)¹⁰ = 1¹⁰ (cos 330° + i sin 330°) = cos 30° - isin 30° = —— -i.

e)    Dla zx = 1 — i mamy |zi| = v/2 oraz argzi = —a dla za = y/3 + i mamy |za| = 2

oraz arg za = ?. Zatem o

(i-i y ₌ a-o* [^(^(-fl+^H))]⁸

N ^ %*/ .    (\/5 + i)    ^2 (cos ^ + isin ^ J

*(«• (-^) +isin (-y)) _ cos| + iśmy |

2® (cos 7r +i staff)    —2^a    8 '

f)    Dla z = - cos y + isin y mamy |z| = 1 oraz argz = tt - y. Zatem

(-cos y +isin f) = [1 (co. f + /sin ^)] “ = l‘^4;(cos 12ir +itól2r) = 1. -