DSC07306

34

Liczby zespolone

rozwiązania *1 = 0, Jj = —1. -3 = 1 -

c) Równanie z* + 3=^a + 3z = i — 1 można zapisać w postaci (z + l)³ = i. Liczba z +1 jest zatem dowolnym elementem pierwiastka trzeciego stopnia z liczby i. Ponieważ

_3/r f \/3 , 1.    y/3 , 1.

więc

z + 1 = ^ + i« lub z +1 =    lub z + 1 = -i.

Rozwiązaniami tych równań, a zatem i wyjściowego równania, są liczby

v/3

1.

1.

-i =    *3 = -o- “ 1 + SK *3 = —⁺

Zadania

Zadanie 1.1

b) (l + >/2t)-(v/3-6i);

Wykonać podane działania: a) (1-30 +(4-Si); c) (V7 - t/3i) • (i/7 + \/5»); d) yj-y;

e) zu7,|6j§,

IŁ’ Z + 117

— u/ Rez + tlmw

2+117

dla z = 5 — 2t, u; = 3 + 4*.

Zadanie 1.2

Znaleźć liczby rzeczywiste x, y spełniające podane równania: a) z(2 + 3i) +1/(5 — 2i) = — 8 + 7i; b) (2 + yi) • (x — 3t) = 7 — i;

d)

x + yi 9 i

x — yi 9 + 2*'

Zadanie 13

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania:

1 + i 2-3*

a) z³ = 45;

b)

d) (z + 2)³ = (5 + 2)^a; e)2z + 5 = 0-5t; 2+i I-i

c) z² — 4z + 13 = 0; f) (l+*)z+3(z—t) = 0;

g)

z — 1 + 4i 2z + i’

h) z + i — z + i = 0;    !•) z³ - 0tz^a - 12z + 8* = 0.

Zadanie 1.4

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane warunki:

a) Re (iż + 2) > 0;	b)
c) 2 — i = 2 — 1;	d)

e) 22 + (5 + i)z + (5-ri)2+1 = 0; f)

• Zadanie 1.5    ^

Niech u. --—, u = -——-, gdzie z

z —2i iz + 4

zespolonych z, dla których:

a) liczba u jest rzeczywista; b) liczba

c) liczba v jest rzeczywista; d) liczba

Im z² < 0; fi — t¹

e C. Naszkicować zbiór wszystkich liczb

u jest czysto urojona; u jest czysto urojona.

• Zadanie 1.6

Punkty zi, zj, Z3 płaszczyzny zespolonej są wierzchołkami trójkąta. Wyznaczyć położenie punktu przecięcia środkowych tego trójkąta.

Wskazówka. Wykorzystać fakt, że środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku 2 : 1. licząc od wierzchołka.

*    Zadanie 1.7

Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych: a) -V5t;    b) 6 -8i; f) #2+ <fci\

d) l-M tga, a €    e) —.

•    Zadanie 1.8

Podać interpretację geometryczną modułu różnicy liczb zespolonych. Korzystając z tej interpretacji narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

a) |z — 3 + 4i| = 1;	b)	z-2t 2+1	= 1;.	c) 2 < |is — 5| < 3;
d) \z + 1 — 2i| > 3 oraz J2 — 3| < 4;	e)	r + i	:>1| .	f) sin (łr|r + 2i|) > 0
		ż" + 1
g^1) 3|2 + t|<|z^a + l| <5|z-i|;	h)	i-l + 3t'| <5.

•    Zadanie 1.9

Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej: a) 7 + 7f;    b) v/3 - i;    c) -5 + Sy/3i\

d) sin a + i cos a; e) —cosa + tsina; f)l + itga.

JHkfc ^

Uwaga. W ćwiczeniach d), e), f) kąt a spełnia nierówności 0 < a < —

1

   Zadanie 1.10

Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunid: