056

56

3. Twierdzenia graniczne

Rozwiązanie.

Częstość występowania tego zdarzenia można zapisać jako X/n, gdzie X jest liczbą pojawień się zdarzenia w n doświadczeniach. Liczbę doświadczeń n dostaniemy z nierówności

Pr

(

-0.1

< --0.4^0 x

•0

>0.9

stosując twierdzenie Moivre’a-Laplace’a. Ponieważ zmienna X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p = 0.4, więc

Pr

—O.ln

—-------------- <

V0.4n-0.6

= 24>

O.ln V'024ń

X — 0.4n y/OAn -0.6

O.ln ^ V0.4n-0.67

Nierówność

24>

O.ln

V024n

-1 > 0.9

jest równoważna nierówności

O.ln

\f02An

> 0.95.

Ponieważ <f>( 1.64) = 0.95 oraz jest funkcją rosnącą, więc

(1-64)²

(0.1)2

0.24 = 64.5504.

Stosując nierówność Czebyszewa (przykład 3.1.2) dostaliśmy tylko n > 240. Widać więc, że stosowanie nierówności Czebyszewa daje oszacowania mało dokładne.

Przykład 3.2.3.

Przy opracowywaniu danych statystycznych trzeba było do siebie dodać 10000 liczb, z których każda była dana z dokładnością 10“^m. Zakładając, że błędy zaokrągleń są wzajemnie niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale (—0.5 • 10^-m,0.5 • 10' ^m), znaleźć przedział {—a, a), w którym z prawdopodobieństwem większym od 0.98 zawierać się będzie sumaryczny błąd.

Rozwiązanie.

Niech Xj będzie błędem zaokrągleń i-tej liczby, (=1,2,..., 10000. Zmienne X_t mają rozkład jednostajny na (-0.5- 10”^m,0.5- 10^-m). Stąd EX = 0 oraz a¹ = D²X = (10^_m)²/12. Szukamy takiej liczby a > 0, aby

/ 10000 \

Pr -a< Yl, ^xi ) ^°-98.