4501

• Przykład* 2.9

Wykorzystując wzór na sumę wyrazów zespolonego ciągu geometrycznego obi*

1 +cosz + cos2z+ ...4-coc nr, gdzie n e N, x £ R,

Rozwiązanie

Niecli * — cosr łinoi. Wtedy - = co* kr. -4* «sin kr. zatem coskr ■ Roz* hi. .

0. 1,2.....n Stąd mamy    * *■

lłco«/-f ..+co«nx = Rt(l + » + ... + j*)* Re *-■ -

1 — z

I — CQ»(w + l)x — »ain(n + l)x 1 — cos x — i sin s

2sin³ fe.±i>f -2<«UifaJ¹>*coafe±ite

■ ^Re-— _a x-£-x-²-

- — 2i lin — coa —

L? ± łl£ ain (^,ł    *)^J _ icpą <■" ± }.l*

—I--²n—:-z—^Ł_

= Re

= Re

sin — — * cos — 2 2

(a+1)

i= H. te±iii-_iOT    I+.C-I)

Mn <= + .»>

1^1 (_Bi„ SŁtlli sin | + nosili* |)

2

(" + D

—J-^S‘^D2

2

Ostatni rachunek jest prawdziwy dla z y 1. to znaczy dla * ?* '-**• *^d“® ¹ = mamy I + cos2kx + . .. + cos n2kx a n + 1.

A € Z. W*

Drugi lyditeń - zadania

29

Zadania

Zadanie 2.1

OMittyć moduły podanych liczb zespolonych:

a)-v/3t; b)6-8i; cj^+^i; d) Iłitga.&e    c) i Zadanie 2.2

Podać interpretację geometryczną modułu różnicy liczb zespolonych. Korzystając z tej interpretacji narysować zbiory liczb zespolonych : spełniających podane warunki:

a)|*-3+4i| = l:

k)

*-2i zł i

st:

c)2ś|i*-5|<3;

d) |z + l-2i|>3oraz |z-3|<4; g»)3|zł.K|z²łl|<5|z-i|.

«)

zł

r^ł + l

n

f) sin(f|2ł2r|)>fl;

0 Zadanie 2.3

Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu liczby zespolonej obliczyć, dla jakich liczb zespolonych z spełniających warunek |z| $ 1 wyrażenie |2i -3- :| jest najmniejsze, największe.

0 Zadanie 2.4

Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej: a) T+7i;    b) V5-«;    c)-5+5>/Si;

d) sin o ł kosa; e) - cos q ł i sin o; f) 1 +i tga.

Uwaga. W ćwiczeniach d), e), f) kąt a spełnia nierówności 0 < o <

O Zadanie 2.5

Narysować zbiory liczb zespolonych : spełniających podane warunki: ł)»rgj = j; b)|< arg(j+3i)< j; «)»* «g(ii) < 2*;

i) »t (**) = *;    P)a.g(f-l-2i) = |.

0 Zadanie 2.6

Obliczyć wartości podanych wyrażeń (wynik podać w postaci algebraicznej);

ICOS

ii/ *    •• *\^l° t (1 + 0”    «/• z,

^d,rr^,s,nT) '• W

o Zadanie 2.7

Korzystając ze wzoru de Moivre'» wyrazić:

a) sin 3x przez funkcję sin r; b) cos 4z przez funkcje sin x i cos z;

O tg 6i przez funkcję tgr, d*) ctg 5z przez funkcję ctg z.