009

PRZYKŁAD 5* Wyprowadzić wzór na długość okręgu o promieniu R, stosuj ąc współrzędne biegunowe.

Równanie okręgu o promieniu R we współrzędnych biegunowych ma postać r(ip) = R,

gdzie 0 <    < 2tt. Dlatego długość okręgu wynosi / yR² -h O² dtp = / Rdy? = R<p =

fl(27r - 0) - 2ttR,    °    °

PRZYKŁAD 6* Obliczyć długość jednego łuku cykloidy {    ^—

[ y(t) = a(l — cos t).

Jeden łuk uzyskamy dla 0 < i < 27T. Obliczamy x^f(t) = a(l - cost), y^f(t) = asint, a następnie (x^/(^))V(y^/(t))²= q²[1-2cqsć+cos²1 + sin²ć] = a²[2-2 cos i] = a²1~^c°^s2a ,4 ₌

1

sin² a, aby uzyskać wyrażenie w kwadracie

4a² sin²| (korzystaliśmy tu ze wzoru ^{1 c}^^2a

i pozbyć się pierwiastka w całce, którą zaraz będziemy obliczać). Długość łuku wynosi

2* f--—    2 7T

|^/4^²sin | cić ™ 2a/sin ^dt — 2a(-2cos |)    = -4a(cos ^-cosO) =-4a(-l-l) = 8a.

C. OBJĘTOŚĆ BRYŁY OBROTOWEJ

zał.: x^1 4	’(t) (stałego znaku) i y(ł) są ciągłe ' (x(t,). y(‘i)) .... ,, v. /Wl --\ y(y) !' a () , ■
0	^ n rt 7r/y^2(t)|x^/(t)|di *i

.V

PRZYKŁAD 7. Wyprowadzić wzór na objętość stożka o promieniu podstawy r oraz wysokości h.

Stożek nasz można otrzymać przez obrót wokół osi Ox trójkąta o wierzchołkach (0,0), (h_y0), (h,r) leżącego w płaszczyźnie Oxy. Prosta przechodząca przez punkty (0,0).

h ₂

(A,r) ma równanie y = fyx. Dlatego V = ?r /' (^x) dx =

, h    _a    ^U

0

0

^(sfc³-⁰) = h^r2/l-

PRZYKŁAD 8* Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi Ox figury między krzywą x(£) = y(i) — t³ a osią Ox dla 0 < t < 1.

Oczywiście x'(t) = t H- \ oraz y(£) = t³ są ciągłe w przedziale [0,1]. Ponadto x^f(t) = 2t + | jest stałego znaku w tym przed ziale ♦ Z god n ie z e wzore m, obj ętoś ć wynosi

93