PRZYKŁAD 5* Wyprowadzić wzór na długość okręgu o promieniu R, stosuj ąc współrzędne biegunowe.
Równanie okręgu o promieniu R we współrzędnych biegunowych ma postać r(ip) = R,
gdzie 0 < < 2tt. Dlatego długość okręgu wynosi / yR2 -h O2 dtp = / Rdy? = R<p =
fl(27r - 0) - 2ttR, ° °
PRZYKŁAD 6* Obliczyć długość jednego łuku cykloidy { —
[ y(t) = a(l — cos t).
Jeden łuk uzyskamy dla 0 < i < 27T. Obliczamy xf(t) = a(l - cost), yf(t) = asint, a następnie (x/(^))V(y/(t))2= q2[1-2cqsć+cos21 + sin2ć] = a2[2-2 cos i] = a21~c°s2a ,4 =
1
sin2 a, aby uzyskać wyrażenie w kwadracie
4a2 sin2| (korzystaliśmy tu ze wzoru 1 c^2a
i pozbyć się pierwiastka w całce, którą zaraz będziemy obliczać). Długość łuku wynosi
2* f--— 2 7T
|^/4^2sin | cić ™ 2a/sin ^dt — 2a(-2cos |) = -4a(cos ^-cosO) =-4a(-l-l) = 8a.
zał.: x1 4 |
’(t) (stałego znaku) i y(ł) są ciągłe ' (x(t,). y(‘i)) .... ,, v. /Wl --\ y(y) !' a () , ■ |
0 |
^ n rt 7r/y2(t)|x/(t)|di *i |
.V
PRZYKŁAD 7. Wyprowadzić wzór na objętość stożka o promieniu podstawy r oraz wysokości h.
Stożek nasz można otrzymać przez obrót wokół osi Ox trójkąta o wierzchołkach (0,0), (hy0), (h,r) leżącego w płaszczyźnie Oxy. Prosta przechodząca przez punkty (0,0).
h 2
(A,r) ma równanie y = fyx. Dlatego V = ?r /' (^x) dx =
, h a U
0
0
PRZYKŁAD 8* Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi Ox figury między krzywą x(£) = y(i) — t3 a osią Ox dla 0 < t < 1.
Oczywiście x'(t) = t H- \ oraz y(£) = t3 są ciągłe w przedziale [0,1]. Ponadto xf(t) = 2t + | jest stałego znaku w tym przed ziale ♦ Z god n ie z e wzore m, obj ętoś ć wynosi
93