3331456988

40

ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY OPCJI EGZOTYCZNYCH

W podobny sposób można wyprowadzić wzór na wartość opcji binarnej cali na put:

C_bcp = Ke~^rTN₂(—a_, —6_,p) - SN₂(-a+,-b₊,p).

W przypadku binarnej opcji złożonej put właściciel otrzymuje za darmo opcję będącą instrumentem bazowym jeśli w chwili r wartość tegoż jest mniejsza niż n. Analogiczne wyliczenia dają:

C_bpc = SN₂(-a₊,b₊,-p) - Ke-^N₂{-a.,b^ -p),

dla opcji binarnej put na cali, oraz

Cbpp = Ke~^rTN₂(a_,    —p) - SN₂(a+, -b+, -p).

dla binarnej cali na put.

(przekształcenia w wyrażeniu (2.11) są elementarne, jednak dość żmudne. Może warto je wykonać samodzielnie bo zaskakuje w jaki sposób wszystkie składniki w magiczny sposób konspirują się by się poskracać tak, by pod znakiem podwójnej całki pozostała tylko gęstość dwuwymiarowego rozkładu normalnego. To nie może być przypadek! Rzeczywiście — nieco inne podejście do problemu wyceny opcji daje rezultat w sposób równie prosty jak obliczanie składnika (2.10), zob. sekcja 2.4.

Wróćmy teraz do „zwykłych” opcji złożonych. Jedyne, co musimy dodatkowo (tzn. w porównaniu z opcjami binarnymi) uwzględnić, to warunkowe premie: właściciel standardowej opcji złożonej płaci K w chwili r, jeśli opcja złożona zostanie wykonana, tzn. jeśli S_T > S* (opcja cali na cali lub put na put) lub jeśli S_T < S* (opcja cali na put, put na cali). Właściciel długiej pozycji w opcji złożonej ma zatem dodatkowo krótką pozycję w opcji binarnej typu „gotówka albo nic“.

Standardowa opcja cali na cali lub cali na put jest więc portfelem składającym się z długiej binarnej opcji złożonej cali i krótkiej opcji „gotówka albo nic”.

W przypadku złożonej opcji put mamy nieco inny związek niż dla cali: w przypadku realizacji właściciel oddaje w chwili r opcję bazową za cenę realizacji k, więc (standardowa) złożona opcja put jest równoważna z portfelem składającym się z krótkiej binarnej złożonej opcji put i długiej opcji „gotówka albo nic”.