3331456990

42

ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY OPCJI EGZOTYCZNYCH

Tak jak przedtem, nie jest potrzebna wartość ceny realizacji binarnej opcji złożonej; wystarczy znajomość ceny krytycznej S* akcji. Jest to wygodne, gdyż opcje złożone wchodzące w skład portfela mają różne ceny realizacji, natomiast mają tę samą, łatwą do wyliczenia wartość krytyczną instrumentu bazowego: wynosi ona oczywiście S* = 10D.

Zastosujemy model akcji z dywidendą jak w równaniu (1.14). Możemy traktować opcje na S(t) jako instrument pochodny którego instrumentem bazowym jest składowa ryzykowna S(t) instrumentu S(t) (zob. sekcja 1.2.1). Mamy zależność S_T = S_T + D, wobec tego cena krytyczna wynosi S* = 9D i ceny opcji na akcje, warunkowo zabezpieczonych przed dywidendą, można zapisać jako

C_cdp.c(5, K, T, r, D) = C_hcc{S, K, T, 9D, r) + C_bpc(Ś, K - D,T, 9D, r),

C_cdp._p(Ś, K, T, r, D) = C_bcp(5, K - D,T, 9D, r) + C_bpp(5, K, T, 9D, r).

Aby wyrazić ceny opcji jako funkcje ceny akcji notowanej w chwili t = 0, zauważmy, że <5(0) = 5(0) — De~^rT. W rezultacie otrzymujemy następującą formułę na cenę opcji cali warunkowo zabezpieczoną przed dywidendą:

Ccdp.c = (5 - De~^rr)N₂(a₊,b₊,p) - Ke~^rTN₂(a-,b.,p)

+ (S- De~^rT)N₂(-a₊, b'₊, -p) - (K - D)e~^rTN₂(-ab'_, -p).

Warunkowo zabezpieczona opcja put jest portfelem składającym się z długiej put na put o cenie realizacji K oraz długiej cali na put o cenie realizacji K—D, wobec tego

Ccdp.p = Ke-^rTN₂(a„, -p) - (S - De~^rT)N₂{a₊, -b+, -p)

+ (Ii - D)e~^rTN₂(-a-, -b'_, p) - (S - De~^rT)N₂(-a₊, -b'₊, p).

przy czym

a± = d±(S — De ^rT,9D,t), b± = d±(S — De~^rT, K, T), b'_± = d±(S — De~^rT, K — D,T).

Jeśli podstawimy D = 0 to b± = b'_± i otrzymamy standardowe równania Blacka-Scholesa-Mertona, wystarczy wykorzystać zależność

AT₂(a, 6, p) + N₂(-a, 6, -p) = N(b).