8 (24)

150

8. Pewne funkcje specjalne

Jest to właśnie poszukiwane przez nas rozwinięcie funkcji/ w otoczeniu punktu x = a. Aby przekonać się, że to wyprowadzenie jest poprawne, musimy uzasadnić dopuszczalność zmiany kolejności sumowania. Z twierdzenia 8.3 wynika, że kolejność można zmienić, jeżeli szereg

m ,, ₍    i i

nar Om* 0    \m/

jest zbieżny. Lecz wzór (18) daje się napisać w postaci

(i9)    Z'»-«i+Nr,

n*=0

a szereg (19) jest zbieżny, jeśli tylko |x- a| + |a| < JR. Wzór (17) na współczynniki wynika z (7).

Należy nadmienić, że w rzeczywistości szereg (17) może być zbieżny na przedziale większym niż przedział określony przez nierówności |x-a| < R— jaj.

Jeżeli dwa szeregi potęgowe są na przedziale (-R, R) zbieżne do tej samej funkcji, to są one identyczne, tj. mają równe współczynniki o tych samych numerach. Jest rzeczą interesującą, że to samo zachodzi przy znacznie słabszych założeniach:

8.5. TWIERDZENIE. Niech szeregi £ a„x" i 'Z b„x” będą zbieżne na przedziale S == {—R,

n=0    n=0

R). Niech E będzie zbiorem tych wszystkich punktów xe S, w których

(20)    ..... ,    ^;    ' E Jt

B=0 ^s    »=o

Jeżeli E ma w S punkt skupienia, to a„ i-^:b£przy-n = Ó, 1>, 2, .„ Zatem (20) zachodzi wtedy dla każdego x e S.

Dowód. Niech c_n = a_u—b„ i niech

(21)    ^    ^J f(x)± £~_Cnx”    (xeS).

11*0

Wtedy f(x) ?= 0 dla x e E.

Niech A będzie zbiorem wszystkich punktów skupienia zbioru £ należących do S, a B niech będzie zbiorem wszystkich pozostałych punktów ż S. Z definicji punktu skupienia wynika, że B jest otwarty. Przypuśćmy, że pokazaliśmy, że i zbiór A jest otwarty. Wtedy A i B byłyby rozłącznymi zbiorami otwartymi, a więc na mocy definicji 2.45 byłyby oddzielone. Ponieważ S = AuB i Sjest spójny, jeden ze zbiorów A i B musiałby być pusty. Na podstawie założenia zbiór A jest niepusty, więc B jest pusty i A = S. Z tego, że funkcja/jest ciągła na S, wynika, że A ęz £. W takim razie E — S i z, (7) wynika, żę c„ = 0 dla n = 0, 1, 2,..., czego należało dowieść.