09

24 Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

to otrzymamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie płaszczyzny Gaussa na siebie. Przekształcenie odwrotne do homografii też jest homografią. Szczególnymi przypadkami homografii są przekształcenia liniowe oraz inwersja. Każda homo-grafia jest złożeniem przesunięcia, inwersji i przekształcenia liniowego. Przy tym każda homografia przekształca okrąg lub prostą w okrąg lub prostą.

O Ćwiczenie 2.2.8

Wyznaczyć obrazy podanych zbiorów przy zadanej homografii:

a) prostej Im z = Re z, w = ——b) okręgu |z — ij = 1, u; = i;

z

z + i    z

c) kola |z| ^ 2, w = —j;    d) zbioru (z g C : |z| < 1, 0 < argz < x), tu

O Ćwiczenie 2.2.9

Wyznaczyć obrazy podanych zbiorów przy wskazanych odwzorowaniach:

a) £> = {z g C: 1 $ |z| ^ 2, - ^ ^ argz $	, w = z^3;
b) £> = {z g C: i < |z| ^ 1, 0 ^ argz <	te = (1 + i)z;
c) D = {z g C : \/2 |z| $ \/3, ^ ^ arg z |	|, w = iz^J;
d) Z? = ^ z g C: 0 ^ Re z ^ 2, 0 $ Imz^^J	, w = e';
c) D = {z € C: ^l- $ |z| ^ 1, $ argz $	>, w = log z;
f*) £>, = {zg C: Rez= i}, D2 = [z g C:	Im z = 2), tu

2.3 Zbiory na płaszczyźnie zespolonej _ . .

• Definicja 2.3.1 (otoczenie i sąsiedztwo punktu)

Otoczeniem o promieniu e > 0 punktu z₀ nazywamy zbiór:

O(zo,e) — {z € C: \z - z₀\ < e). Sąsiedztwem o promieniu e > 0 punktu zo nazywamy zbiór: S (zo,e) = {z e C : 0 < |z - z₀| < e} •

	Irn x	Im z
	*0.« )	i	!r°-^)
	lisi		BP
	Re x		Re
O	O

Rys. 2.3.1. Otoczenie punktu.

Rys. 2.3.2. Sąsiedztwo punktu.

•    Definicja 2.3.2 (zbiór otwarty, zbiór domknięty)

Zbiór nazywamy otwartym, jeśli każdy punkt tego zbioru należy do niego wraz z pewnym otoczeniem.

Zbiór nazywamy domkniętym, jeśli jego dopełnienie jest zbiorem otwartym.

•    Definicja 2.3.3 (punkt skupienia)

Punkt zq jest punktem skupienia zbioru D, jeśli w każdym jego sąsiedztwie znajdują się punkty zbioru D.

•    Definicja 2.3.4 (punkt brzegowy, brzeg zbioru)

Punkt z₀ jest punktem brzegowym zbioru, jeśli \v każdym otoczeniu tego punktu znajdują się zarówno punkty należące, jak i punkty nienależące do niego. Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych.

Rys. 2,3.3. Punkt brzegowy zbioru.    Rys. 2.3.4. Brzeg zbioru.

Uwaga. Inaczej mówiąc zbiór jest otwarty, jeśli nie należy do niego żaden punkt jego brzegu. Zbiór jest domknięty, jeśli należą do niego wszystkie punkty jego brzegu.

O Ćwiczenie 2.3.5

Zbadać, które z podanych zbiorów są otwarte, a które domknięte: