0315

316

V. Funkcje wielu zmiennych

Wynika to od razu z nierówności

* y

x²+y²

<_TW-

3 i 3

X +v

lim-j-5=0.

,^ox²+y²

y-*0

W ten sam sposób można udowodnić, że i

168. Granice iterowane. Oprócz rozpatrzonej wyżej granicy funkcji f(x_l, x₂,    x„)

przy jednoczesnym dążeniu wszystkich argumentów do granicy, spotykamy się_< także z granicami innego typu. Otrzymujemy je w wyniku kilku kolejnych przejść granicznych wykonanych oddzielnie dla każdej zmiennej w tej lub innej kolejności. Pierwsza z tych granic nazywa się granicą n-krotną (podwójną, potrójną, itd. — dla n = 2, 3,...), a ostatnia — granicą iterowaną.

Dla prostoty ograniczymy się do przypadku funkcji dwóch zmiennych/(x, y). Załóżmy jeszcze, że obszar zmienności Jl, zmiennych x, y jest taki, że x (niezależnie od y) może przybierać dowolną wartość w pewnym zbiorze 9£ mającym punkt skupienia a, który do tego zbioru nie należy, analogicznie y (niezależnie od x) zmienia się w zbiorze W mającym punkt skupienia b nie należący do niego. Taki obszar J( można by oznaczać symbolicznie przez Sty. ty. Na przykład

(a, a + H ; b, b + K) — (a, a + H) x (b, b+K).

Jeśli dla dowolnie ustalonego y z Y istnieje granica funkcji f(x, y) (która jest teraz funkcją samego tylko x) przy x-*a, to granica ta w ogólności będzie zależała od tej ustalonej z góry wartości y:

lim f{x,y)^ę{y).

x -*a

Możemy następnie zapytać o granicę funkcji <p{y) przy y->b\

lim ę (y) = lim lim f(x, y).

y-*b    y~*b x-*a

To właśnie jest jedna z dwóch granic iterowanych. Drugą z nich otrzymamy, jeśli przejścia do granicy wykonamy w odwrotnym porządku

lim lim f{x, y).

x-*a y-*b

Nie należy myśleć, że obie te granice iterowane muszą być równe. Jeśli na przykład w obszarze Jl (0, + oo; 0, +oo) rozpatrzymy funkcję

,3,2

!)/(*,D =

x—y+x +y x+y

i weźmiemy a=b = 0, to otrzymamy

ę(y) = \imf{x, y)=y — \,    lim ę>(y) = lim lim f(x,y)= — 1,

*-»0    y~»0    y-»0 x-*0

podczas gdy

\l/(x) = \imf(x,y)=x-\-\,    lim(</(» = lim lim f(x,y) = 1.