3582326285

§6. Rachunek różniczkowy 1. Korzystając z definicji, wyznaczyć pochodne podanych funkcji w odpowiednich punktach:

a) f(x) — x² w punkcie xq — -2,    c) f(x) = tyx w punkcie xq = 8,

b) f{x) = ^ w punkcie Xq = 9,    d) f(x) = ^w punkcie Xq = —3.

Obliczyć pochodne powyższych funkcji w dowolnym punkcie xq, w którym funkcja / posiada pochodną, czyli jest różniczkowałna.

2. Sprawdzić, czy wymienione niżej funkcje są różniezkowalne w podanych punktach:

2x 4- 3 dla x < 1

a)    f(x) -

b)    f(x) =

c)    f{x) =

d)    /(*) =

x² 4- 4 dla x > 1 —x² 4- 2x dla x < 2

w punkcie Xq = 1,

6x + 6 dla x > 2

■lx 4- 1 dla * < 0

i

X+1

dla x > 0

w punkcie Xq = 2,

w punkcie Xq = 0,

-%x² 4- ^r-x dla x < 1

y/x + 3

dla x > 1

w punkcie zo = 1.

3. Wykazać, że funkcja

dla

dla x = 0,

nie jest różniczkowałna w punkcie cco = 0.

4. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji / w punkcie ®o^:

a) /(x) = 2x 4- 3,    £₀ — 1)

b) f{x) = 4 - x²,    xq = —1,

5. Obliczyć pochodne funkcji:

a) fi^x) — j#³ + I®² + ^x>

ł>) /(*) = -?r + |^+® + 3a;²,

c)    /(*) =

d)    f(x) = y/x 4 X,

^e)    /(*) = v^?4- tf?,

c)    f(x) =

d)    f(x) =

f) }{x) = ³-?-²f±\

9) fi^x) = 3x²j/x,

h)    f(x)=smx — cosx,

i)    /(®) = tga:-ctgx,

j)    f(x)=x²+\nx,

•² — 4x, xę = 1,

.4.1) xq 0.

k)    /(x) = 31n®-^,

l)    f(x) = axosmx — ^, to) f(x) = 5x -1- 2 arctgz,

n)    f{x) = e^x + 2*,

o)    f(x) = log₂x - log₄aj.

6. Obliczyć pochodne funkcji:

a) f(x) — {x² - 3s 4 3)(a:³ 4 2x — 1),    c) f(x) = x² sina:,

b) f(x) = (y/x + l)(j± ^),    d) f(x) = x³ siax + x² cosx,

17