df1

Rozdział 4

Zadanie 1

Korzystając z definicji wyznaczyć pochodną funkcji.

h

Definicja pochodnej x₀: f(x) =lim

h~0

a) /(x) = x²-x+l dla x₀ = 1

podstawiając x₀=1 do wzoru na pochodną w punkcie otrzymujemy:

= 1

f(x) = lim    _{=Um    =lim} hhL =H_m Mlii =lim (/,+ ])

/z-0

/z- 0

/z- 0

/z- 0

/z- 0

b)

g(*) = —

g' (x) -lim

b*0

JC+1

+3

h-2-l    _

h

dla xq = -2

=lim ^¹⁺³

/z-0

h

=lim

b*0

3-3/?-3 h-1

=lim ^3,\ =lim (-4r)

h(h—1)    ^v h-1 ⁷

/z-0    /z-0

= -3

c) /?(x) = cosjc dla jco = f-

cos(/z+4)-cos +    cos4 cos/z-sin + sin/z-cos +    cos4(cos/z-l)-sin+sin/z

g'(x) =lim -=r-— =lim —---— =lim

/z-0

/z

/z-0

h

=lim

b*0

cos-j- (cos /z-1) sin-j sin/z

h

, =lim cos -f- ^(cos," ^1} - sin -f- =lim cos -f- ^(cos," ^1} - sin -f- • 1

h    4/z    4/z    4/z    4

/z^-0    /z^-0

=lim cos -f-^(cos," ^1)(co*'ⁱ⁺¹⁾ _ _si_n jl =H_m cos -f- .^^os~'.^: * - sin -f- =lim cos -f- . ^sm~'^:.. - sin -f-

4 /z(cos/z+l)    4    4 /z(cos/z+l)    4    4 /z(cos/z+l)    4

/z*-»-0    h'-* 0    /z*-»-0

72

72

-lim cos f 4™- - sin f -lim cos f ^4 -sinf=4-.T4-4+ =    ,

4 /z(cos/z+l)    4    4 cos/z+1    4    2    1+12    2

/z-0    /z-0

d) //(z) = z³ i-1 dla zo = 3

/»(x) -lim ^(3+;o;;¹-^:s -lim ^(3+;o(9-f^;::)-^r -lim

/z*-»-0    h'-* 0    /z*-»-0

=lim ^+9fi+- ) ₌j-_{m +} 9/_?i_ 27) = 27

=lim

/z-0

/z³+9/z²+27/z _ h

/z- 0

/z-0

e) w(x) = J2xTJ -lim

=lim

/!-0

dla x₀ = 1

(72^+4-2)(72fe+4+2) h(.j2k+4+2)

=lim —4=— “lim ^: —

h(j2h+4+2)    (72^4+2)