48 (165)

Rozwiązanie

Aby obliczyć wartości wyznaczników macierzy A (jest to macierz trójkątna), można skorzystać z następującej własności:

Tl

det(A) ~    S^y ^Ae^^,Vł jest macierzą trójkątną

Wobec tego

det(A) =

2	0	0	°i
3	3	0	°l
0	8	-i	o!
4	2	6	2!

Przykład 1.8

Korzystając z rozkładu na czynniki trójkątne, obliczyć wartości wyznaczników macierzy:

'4	16	8"		"4	6	2~
2	11	19	, B =	6	18	9
5	22	21		2	9	21

Rozwiązanie

Ponieważ

-i

det(A) = det(H) det(G) =    'IT^u “ J][^« ⁼ det(H)

i~l i—l

oraz

i= 1

4^ c 0	~1 4 2		4^ 0 00
2 3 0	0 1 5	=	2 11 19
5 2 1	_° 0 1		5 22 21
H^r	G	—	A

więc

det(A) = det(H) = 4 • 3 • 1 = 12 Macierz B jest symetryczna, zatem

(

rp..

dct(B) = dct(R^rR) = deł(R)dct(R) = det(R)² =

( ! V

del(B)

Y\ _lt I =(2 3-4)-- -576

»'=i j

Łatwo można zauważyć, że R(A) ~ /?(Ii) = 3, czyli również (dla każdej z tych macierzy) d ~n~ R(^) = 3-3 ~ 0.

Przykład 1.9

Ustalić rząd, defekt i ślad (w przypadku macierzy kwadratowych) macierzy:

	3 3 6		1 l 1		'2 l 1 4
\ =	i 2 4	, B -	! 1 1	, C -	3 2 11
	_2 4 8		1 1 i		.^3 2 3 4

	'i - f		"i 2
D =	0 1 1 0	, E -	i 2 1 2	F = Diag(2,3,4),	K = Di ag (2,0,4)

Rozwiąz a ni e

Przypomnijmy, że rząd macierzy jest równy wymiarowi najwyższego stopniem niezerowego pod wy znacznika wyjętego z tej macierzy.

Macierz A. Sprawdźmy, czy wartość najwyższego stopniem wyznacznika, a więc wartość det(A), jest różna od zera:

|3	3	6
dcl(A) = 1	2	4
h	4	8

to uzyskamy

Jeśli wyznaczymy

2 0	(i	~2	3	n	*4	6	2
3 3	0	0	3	2! -	6	18	9
1 2	4	0	0	^41	2	9	2
R^1			R			B

3 • 2 • 8 + 2 • 3 • 4 + 6-1-4-2-2-6-8-1-3-3-4-4 = 0

Zatem rząd macierzy A jest mniejszy od 3 (A’(A) < 3). Wyznaczmy teraz wyznaczniki drugiego stopnia (w przypadku macierzy kwadratowej o wymiarach 3x3 są to minory A-A. długiego stopnia) oraz sprawdźmy, czy wartość chociażby jednego z nich jest różna od zera (to wystarczy, aby R{A)-2):

49