4535

w

Mauerze i wyznacznui

• Przykład 8.8

Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy A, jeżeli:

»)VsZ^r; b) A^T - A'¹ = O; e)/t^ł + /ł-' =0.

Roiwiąianfc

W rorwiąiuii wykorzystamy następujące własności wyznaczników:

dcl (d^r) « dclii, dci (d'¹) = (detd)"¹;

dcl (d¹) n (dcl A)^k, gdzie k€ N\

dcl (od) = a"deld, gdzie n oznacza stopień macierzy A.

a)    Korzystając i tych własności kolejno otrzymamy

dcl (d^a) = dcl (A^t) => (detd)^a = det d<=> det A = 1 lub dcl A - 0.

Zatem jedynymi możliwymi wartościami wyznacznika macierzy A są 0 i 1. Przyjmując A = [0) i /l = [1] widzimy, że obie te wartości są realizowane.

b)    Korzystając i własności podanych na początku rozwiązania otrzymamy d^r - d'¹ =* O <=> A^t = d“^ł =* dcl (d^r) * det (d-¹)

<=> dcl d - (det d)"¹ <=* det d = 1 lub det d = -1. Zatem jedynymi możliwymi wartościami wyznacznika macierzy A są liczby -1 i 1. Przyjmując d = (l) i d b (-1) widzimy, że obie te wartości są realizowane.

c)    Korzystając, jak poprzednio, z przytoczonych na wstąpię rozwiązania własności wy. znaczników kolejno otrzymamy

A¹ + A'^x * O <=> d^a ■ -d”^ł =» det (d⁷) = det (-d^_1)

<=» (deld)^a = (-l)ⁿ(dct d)“* <=* (detd)³ = (-l)^B, gdzie n oznacza stopień macierzy d. Zatem jedyną możliwą wartością wyznacznika macierzy rzeczywistej stopnia nieparzystego jest liczba -1, a macierzy stopnia parzystego jml 1. Przyjmując

BŁ?    A = [-\) oraz Am | "J J    »jfl

widzimy, ic obie wartości wyznacznika są realizowane.

• Przykład 8.9

Elementy macierzy d oraz macierzy d"¹ są liczbami całkowitymi. Jaka jest wartość wyznacznika macierzy A ?

Rozwiązanie

Ponieważ elementy macierzy d oraz d'^ł są Babami całkowitymi, więc ich wyznaczniki takie są Babami całkowitymi Z równości A ■ A'¹ = I oraz z twierdzenia Cauchy’cgo o wyinaaiiku iloczynu marieny wynika, że

det / = dcl (d • d^_ł) = det A • det (d'¹) = det A • (det A)~^l ■ 1.

Z otrzymanej równości wynika, ie jedynymi możliwymi wartościami wyznacznika macierzy d są l i -1. Przyjmując d = [I] oraz d = [-1] widzimy, io obie tc wartości są realizowane.

ósmy tydzień - zadania    97

Zadania

O Zadanie 8.1

Obliczyć podane wyznaczniki wykorzystując występujące w nich regularności:

1	2	3	4
4	3	2	1	i b)
5	6	7	8
8	7	6	5

1    1    1    I    1

1    2    2    2    2

1    2    3    3    3 ;

12    3    4    4

1    2    3    4    5

c)

1113 3 3 0 113 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 3 1 0 0 0 3 3 1 1 0 3 3 3 1 1 1

O Zadanie 8.2

Obliczyć podane wyznaczniki stopnia n £ 2 wykorzystując występujące w nich regularności:

4 4 ... 4 4 1 4 ... 4 4	| b)	1    2 3 ... n 2    2 3 ... n 3    3 3 .. 1 n	i c*)	1 1 1 ... 1 1 2 2^3 ... 2"-* 1 3 3^2 ... 3^n-^1
1 1 ... 4 4 1 1 ... 1 4		n n n ... n		1 n n^2 ... n*^mi

O Zadanie 8.3

Stosując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznaczników (powodujące obniżenie ich stopni) obliczyć:

	1 -1 0		-i 4 0
*)	2 35	; k)	2 5 -2
	-4 0 6		-3 0 3

4)

4 2 11 1-10 2 3 0 1 3 ¹ 2 2 0 3

	1	2	-1	0	3		2	7	-1 3 2
	2	4	5	1	-6		0	2	1 3 1
; e)	-1	-2	3	0	-2	; 0	-2	4	7 2 2
	-2	-2	1	-1	1		-3	-2	4 5 3
	2	4	-2	0	3		1	2	0 1 1

O Zadanie* 8.4

Korzystając z algorytmu Chió obliczyć podane wyznaczniki:

4 2 -3
2 5 1 -1 6 2	i b)

3 2 -1 1 0 1 2 1 1 1 1 1

1

2

-1 '

0

c)

3    4    1

2    1    5

1    3    2

2    1 1

3    -1 1

0 1 1 2 1 4 . 5 2 -I 1

O Zadanie 8.5

Korzystając z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej inałdć macierze odwrotne do podanych: