DSC07108 (2)

146

Badanie funkcji:

Ponieważ badana funkcja ma pochodną w każdym punkcie, więc może mieć ekstrema tylko W tych punktach, w których q(x) = 0. Tak więc

q'(z) = 0 <=> cosx + cns2x=s0

3    -1

-*co»_T* = 0

x + 2x x — 2x .. 2 cos —- cos -    = 0

c=» cos = 0 lub cos ~z = 0 <=> i = ^ lub x = w lub x =

Badając teraz znak drugiej pochodnej w otrzymanych punktach ustalimy rodzaj ekstremum. Mamy ę"(x) = -(sinz + 2sin2z) oraz q'"(x) = -(cosz + 4cos2z). Stąd

q" ||j|j < 0; q"(x) = 0, ale V"(x)    0 oraz q" > 0. Z rozważań tych wynika,

że funkcja q ma na przedziale [0,2ff) ekstrema lokalne tylko w punktach z = ^ (maksimum lokalne właściwe), z = ^ (minimum lokalno właściwe). Natomiast punkt («,0) jest punktem przegięcia wykresu tej funkcji (funkcja q ma także inne punkty przegięcia, których nie szukamy). Ostatecznie funkcja q ma maksima lokalne właściwe w punktach postaci x, —■ — -ł-2mr, gdzie n 6 Z, oraz minima lokalne właściwe w punktach postaci Sir ?

x = •— + 2njr, gdzie n € Z.

e) Funkcja p(x) = z * jest określona dla z > 0. Pochodna

wm

f Inz

r Inz

= e

(~l_nx + ^)=x’l(l-lm)

jest również określona dla z > 0. Funkcją p może mieć ekstrema tylko w tych punktach, w których p'(z) = 0. Tak więc

p'(*)=o

£ I

z*—(1 — łnx) = 0 <=?• 1 — lnz = 0 <==> z = c.

Zbadamy teraz znak pochodnej na przedziałach (0, e), (e,oo). Mamy 1 — lnz > 0 dla z 6 (0,e) oraz 1 - lnz <0 dla z € (e,co). Stąd mamy p'(z) > 0 dla x € (0,e) oraz P (x) < 0 dla z € (e,oo). Tak więc w punkcie e pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, czyli w punkcie tym funkcja ma maksimum lokalne właściwe równe c-. f) Dziedziną funkcji r jest R. Pochodna tej funkcji istnieje na R\ {0} i jest tam określona wzorem

/(*) = !-

Mamy zatem

^x) = 0«l-₃^=0«* = -^l_ub, = ^.

Ponieważ funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach zerowania się pochodnej albo, w punktach, gdzie pochodna nie istnieje, więc funkcja r może mieć ekstrema tylłco w

punktach x» = JS xi * zj = 0. Rodzaj ekstremum w punktach x», za ustalimy bodająp znak drożej pochodnej w tych punktach. Mamy

Przykłady

147

_r„(_>/3)^<o _ora2 r"^0>a

Zatem w punktach x\ = oraz zj = ~ funkcja r ma odpowiednio maksimum lokalne właściwe oraz minimum lokalne właściwe. Pozostał do zbadania punkt x% = 0. Pokażemy, że w tym punkcio funkcja r nie ma ekstremum lokalnego. Mamy i*(0) = 0. Ponadto dla — 1 < z < 0 funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla 0 < z < 1 wartości ujemne. Zatem nie może mieć w punkcie zj = 0 ekstremum lokalnego.

Uwaga. Badanie funkcji g, q oraz r można uprościć, jeżeli wykorzystamy ich nieparzy* stość.

• Przykład 6.3

Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach:

a) /(i) = i³ - 2* + 3, 1-2,6); b) _s(x) = x²lnx, |l,e|;

c)A(x) = arctg*-|, |0,2|:    d) p(x) = x² |r -1|, 1-2.3).

Rozwiązanie

Wartość największa (najmniejsza) funkcji ciągłej na przedziale domkniętym, która ewentualnie nie ma pochodnej w skończonej liczbie punktów, jest osiągnięta w miejscu ze* rownnia się pochodnej lub punkcie nieróżniczkowalności lub też na końcu przedziału, aj Dla /(z) = z⁴ - 2x -I- 3 mamy /'(z) = 2z — 2. Zatem

/'(z) = 0 <=> 2x - 2 = 0 <==> z = 1 € |—2,5).

Ponadto /(1) = I - 2 + 3 = 2 oraz /(-2) = 4 I- -I + 3 = 11, /(5) = 25 -10 + 3 = 18. Zatem funkcja / osiąga najmniejszą wartość 2 w punkcie 1 oraz największą wartość 18 w punkcie 5.

Uwaga. Zadanie to można rozwiązać nic odwołując się do rachunku różniczkowego, a wykorzystując jedynie własności funkcji kwadratowej.

b)    Dla g(z) — z⁴ In z mamy

& = 2zlnx + x⁴- = 2z lnz + z = x(21nx +1).

Zauważmy teraz, że (/(z) > 0 dla (1, ej> Zatem funkcja g jest rosnąca na przedziale (l,e|. Rozważana funkcja przyjmuje najmniejszą wartość 0 w punkcie 1 oraz największą wartość e¹ w punkcie e.

c)    Dla /i(z) = arctgz — — mamy

» _    1    1 _ 1—z*

W 1 + *²"? 20+ff

Wyznaczamy miejsca zerowe pocliodnej w przedziale [0,2). Mamy

(/.'(*) = oi*e[0,21) <=> ((irSj = ⁰ⁱ*elM)

<=> ^r(l —z⁴ = 0 i z € [0, 2]) <=> z = 1.