DSC07117 (5)

164 Badanie funkcji

• Przykład 6.7

Pod jakim kątem powinien być nachylony płaski dach przykrywający dom o ustalonej szerokości, aby krople deszczu spływały po nim najszybciej?

Rozwiązanie

W rozwiązanie stosujemy oznaczenia podane na rysunku. Ruch kropli deszczu po dachu odbywa się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a oraz z szybkością początkową vo = 0. Czas spływania kropli deszczu po

dachu długości / wyraża się wzorem t = w —.

Ponadto / = —-— oraz a = osino, gdzie g cos a    .

oznacza przyspieszenie ziemskie. Zatem

t{o) = J-— = 2%/

V 9 cos asm o    y

gtm2o

gdzie 0 < o < —- Z postaci funkcji t widać, że czas ruchu kropli będzie najmniejszy, gdy mianownik, tj. sin2o będzie miał nawiększą wartość na przedziale ^0, Łatwo zauważyć, że funkcja sin 2o przyjmuje największą wartość na tym przedziale dla o = —. Zatem krople deszczu będą spływały najszybciej po dachu, gdy będzie on nachylony pod kątem

• Przykład 6.8

W którym miejscu na linii bocznej boiska trzeba ustawić piłkę, aby szansa trafienia nią do bramki była największa? Przyjąć. że szansa trafienia jest największa, gdy kąt widzenia bramki jest największy. Szerokość boiska wynosi o = 64 m, a szerokość bramki 6 = 7dl Rozwiąi

	p
			bruJa
	T		- boUko
f
	p
			ł pllfcs

W rozwiązaniu przyjmujemy oznaczenia podane nu rysunku. Mamy 1 a» £->a

Ponadto

oraz

0 — 6    .a + 6

P= — • 7 = P + 6==-y-.

S«ąd

1 + Igo tg ^

o -f 6

J2ł

o-6 -2z__

4z6

0-6 o+T ^C Az* + d* 2x ’ 2z

przykłady

165

gdzie x > O. Zauważmy teraz, żc kąt y będzie największy, gdy jego Langera będzie największy. Wystarczy zatem znaleźć wartość największą funkcji

4x^a + a* - 6?

ns przedziale (0_too). Z warunku koniecznego szukamy punktów, w których funkcja / może mieć ekstrema (funkcja / ma wszystkie pochodne na przedziale (O.oo)). Mamy

. _ *16 ('Iz² + a² — 6²) — 46x(8z)    46 (a² — 6²) — 166x²

*    (4*3 + a»-6^)²    (4** + a»-6*)² *

Stąd    _#

f'(x) = 0 <=> 46 (a² - 6²) - 166z² = 0«z=

Zauważmy jeszcze, że

/*(*) > 0 dla 0 < x <    oraz /'(z) < 0 dla —^ < * < 00.

Oznacza to, że funkcja / jest rosnąca na przedziale m), — / v/a³ - b²

i malejąca na prze-

\ •    4    /

, 00^ . Z rozważań tych wynika, że funkcja / osiąga w punkcie z s

6

n/o³ - 6¹ ^ .

MM ₂

v/7TTp

-2- maksimum lokalne właściwe równe ^ ^ i jest to jednocześnie wartość

największa tej funkcji na przedziale (0,00). Przyjmując teraz a = 64mi6 = 7m otrzymamy, ze pitkę należy ustawić w odległości

as 31.8m

\/4Ó47

2-max ⁼

od linii bramkowej boiska.

Przykład 6.9

Jakie powinny być wymiary szklanki o grubości ścianek d = 2mm i pojemności V *= 0.2 dm³, aby ilość szkła potrzebnego do jej wytworzenia była najmniejsza?

Rozwiązanie

Oznaczenia w rozwiązaniu przyjmujemy jak na rysunku. Ponadto niech W oznacza objętość szkła potrzebnego do wytworzenia szklanki. Wtedy W = ir(r + d)²(6 + d) — V. Przyjmiyąc teraz r >. Ó jako zmienną

niezależną oraz korzystając z zależności    !•    *1

y ^ irr²h otrzymamy    ¹

IV(r)-x(r + d)^a(^y + d)-V.

gdzie r > 0. Z warunku koniecznego szukamy punktów, w których funkcja W może

mieć ekstrema (funkcja W ma pochodną    _______

na przedziale (0, do)). Mamy

/i/    x    .r-W\ M(r + <0(*r¹-^v)

W"(r) = 2>r(r + «0    + d) + x(r + df (-^r J -1