DSC07114 (5)

158

Badanie funkcji

IL Fbnkrja r jest ciągła w dziedzinie, bo jest funkcją elementarną. Jedynym miejscem aescenrm tej funkcji jest r = 0.

HL Obfirzami ptńkc funkcji r na -krańcach" dziedziny. Mamy

Sm rfs) = lim -i/* = i = —oo.

»—i- ' ■—i- •/z-l Q~

= rr soo,

!im r(x) =* lim -7=^ r—X®    »—*• yz — I

Sm r(x) == fia

_x^x

— Em

1-

li

N* mi—¹nfińnj granicy lim r(x), gdyż punkt 0 należy do dziedziny, a funkcja jest

IV. Z obliczeń praeprowdauoycfa w części HI wynika, że prosta z = 1 jest asymptotą pionową obwcnsą badanej funkcji r. Z obliczeń tych wynika także, że funkcja r nie ■a sayiaptuty pcaaang w x. Sprawd rirn/ teraz, czy funkcja ta ma asymptotę ukośną

oraz

r$£i

*~~z(Jx- 1)
- Im ( *y*	•i- ib. ^x

funkcja r nie ma mympuAy ukośnej.

V. Zbadamy teraz pierwmą pochodną funkcji r. Mamy

/w

yg(yz-3)

*(**"')

Przykłady

159

prxy czym dziedzina pochodnej pokrywa się z dziedziną funkcji. Badając mfk pierwszej pochodnej ustalimy przedziały monotonicznofci. Mamy

^(2^-3)    / o\

^< 0 ~ ilSm> <⁰ ~ *^{e (o}-ⁱ⁾° ('-i) •

Funkcja r jest zatem malejąca na przedziałach (0,1) oraz ^1, . Z rozważań tych wynika

ponadto, że funkcja r jest rosnącą na przedziale    • Ponieważ r' zmienia znak (z

na „+") w punkcie 1 = —, więc w tym miejscu ma minimum lokalne właściwe (równe

-j-). Zbadamy jeszcze, czy w punkcie x = 0 jest ekstremum lokalne. Ponieważ funkcja r jest małcjaca na przedziale [0,1), więc można przyjąć umownie, że w punkcie x = 0 ma maksimum lokalne „prawostronne" (równe 0).

VL Przechodzimy do zbadania drugiej pochodnej funkcji r. Mamy

^r"(*) =

3 — y/z

4>/x(^-l)³

Dziedziną tej pochodnej jest zbiór (0,1) U (l,oo). Korzystając z warunku koniecznego wyznaczamy miejsca, w których funkcja może mieć punkty przegięcia. Mamy

r"(x)=0«

-3=0 <=> x = 9.

4v^(v^-l)

Zatem jedynym „podejrzanym" jest x = 9. Teraz znajdziemy przedziały wypukłości 1 wklęsłości funkcji r. W tym celu ustalimy, w jakich przedziałach druga pochodna jest dodatnia. Mamy

r"(x)>0

> o <=> x € (l,9).

Analogicznie otrzymamy

r"(x) < o <=> —^Zr^--a <⁰<=*ze (lU)U(9,oo). Ay/x(y/x-l)

1 rozważań tych wynika, ie funkcja r jest ściśle wypukła na przedziale (1,9) omsdfle wklęsła na przedziałach (0, l) i(9,00). Z rozważań tych wynika takie, ie punkt (s.yj

jest miejscem przegięcia wykresu badanej funkcji.

Vn. Wyniki otrzymane w punktach I-VI zbieramy w tabeli:

■ . •	6<«<t j		, l<f<)	1	. !<•<•_	=s=	Kio* i w. i
f*t-l • M		K	♦		Jj	0	^1 - 0

•'i.i •    -    - (si ♦ ¹»    ♦ *1