DSC07116 (5)

162

Badanie funkcji

zestawiamy w tabeli:

I m	• •	• •<•<«! -/i	</I<K</S y/S	VS<kVS V*	y/t<0<m m
*•(•1	0		- ! o	.
	U		-ł	^1 —'^- } •	♦
•t*ł	^1 0	• ^ *</1			___' -
		max.	p.f.	min.

VHL Na podstawie tabeli oraz uwzględniając fakt, iż badana funkcja jest nieparzysta sporządzamy wykres funkcji.

• Przykład 6.6

Do rzeki o szerokości a = 15 m dochodzi pod kątem prostym kanał o szerokości b = 4dl Znaleźć długość największej kłody drewna, którą można spławić tym kanałem do rzeki.

Rozwiązani*

Oznaczenia stosowane w rozwiązaniu podajemy na rysunku.

Stąd

(ai+iJ)

Przykłady    163;

Wyznaczymy długość kłody d Jako funkcję kąta o jej nachylenia do brzegu kanału. Mamy

6

sina³

, 0<o<-,

Zatem

d — dla) =ż + u = -— +-.

sina coca

Szukamy wartości najmniejszej funkcji d na przedziale ^0, ^ (dlaczego najmniejszej?). I. Warunek konieczny istnienia ekstremum. Mamy

<(<*) =

—bcosa ^ a sin o sin' a cos² o

Stąd

j, _v - bcosa osin o___ .a k

,d(_O) = 0 <=*    <=> 1^0 = -

o = oo = aretg u j.

II. Warunek wystarczający istnienia ekstremum. Badamy znak pochodnej funkcji d w sąsiedztwie punktu qq. Mamy

—6 cos³ a + a sin³ o    ^39

acos a    b\

= -r"5——r— (tg O —)• sin'a cos² a \    a/

Ze wzoru określającego pochodną wynika, ze

d!(a) > 0 <=> tg a > oraz (t[a) < 0 <=> 0 < tgą<

sin² a cos² a

Oznacza to, że funkcja d ma w punkcie qo *= aretg - minimum lokalne właściwe.

>/*

Ponieważ funkcja d jest malejąca na przedziale ^0,aretg y-j oraz rosnąca na przedziałe ^aretg \J^'    . więc funkcja d przyjmuje w punkcie oo = aretg yjt wartość

najmniejszą. Obliczymy teraz tę wartość. Z trygonometrii wiadomo, ze dla 0 < z < | oraz cos z = —t - =■ =• Zatem

i    tg*

mamy sin z =-—

\ZiTtg³

S/l + tg?

d(ao) = -r—--1- —"— = \/l + tg²oo ( t— +^a)

V ' sin oo cocao    y tg oq

d_ml„ m <ł | aretg {/* ) = \/l + \/£j |    + «

Przyjmując teraz a = 15 m i .6 = 4 m otrzymamy dmin ^a 2Ó-22 m. Największa kłoda, którą można spławiać tym kanałem ma długość około 25.22 m.