DSC07111 (5)

152

Badanie funkcji

Rozwiązanie

Badanie funkcji przeprowadzimy według schematu:

L Ustalenie dziedziny funkcji.

II. Wskazanie podstawowych własności funkcji:

a)    parzystość lub nieparzystość,

b)    okresowość,

c)    miejsca zerowe,

d)    ciągłość.

UL Obliczenie granic lub wartości funkcji na „krańcach" dziedziny.

IV.    Znalezienie asympLot pionowych i ukośnych.

V.    Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:

a)    wyznaczenie dziedziny pochodnej i jej obliczenie.

b)    wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema,

c)    ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji,

d)    ustalenie ekstremów funkcji,

e)    obliczenie granic lub wartości pochodnej na „krańcach" jej dziedziny.

VL Zbadanie drugiej pochodnej funkcji:

a)    wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej i jej obliczenie,

b)    wyznaczenie miejsc, w których funkcja może mieć punkty przegięcia,

c)    ustalenie przedziałów wklęsłości I wypukłości,

d)    wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji,

e)    obliczenie pierwszej pochodnej w punktach przegięcia.

VIL Zestawienie wyników punktów I-VI w tabeli.

m Sporządzenie wykresu funkcji.

a) L Dziedziną funkcji /(z) =z* - 3z⁵ + 4 jest R.

IL Funkcja / jest ciągła na R, bo jest wielomianem. Miejscami zerowymi funkcji / są: zi = —1.12 = 2. Funkcja / przecina oś Oy w punkcie y = 4.

1IL Obliczamy granice funkcji / na „krańcach" dziedziny, czyli granice

_Sm.(*» -3z* + 4) = _Jłrn^ [** (l - § + Jf)] = (-00) -1 = -00;

^3x2+⁴) -    (i-| + J = 00 • 1 = 00.

IV.    Szukamy asymptot funkcji f. Ponieważ funkcja / ma w obu nieskończoności ach granice niewłaściwe, więc może mieć tam ewentualnie asymptoty ukośne. Z prostych rachunków wynika jednak, że funkcja / nie ma asymptol ukośnych w — oo ani w oo.

V.    Zbadamy teraz pierwszą pochodną funkcji /. Mamy /'(x) = 3x^a - 6x oraz D_r - R. Korzystając z warunku koniecznego szukamy punktów, w których funkcja / może mieć ekstrema. Mamy

/(z) = 0 0=0 3 (z³ - 2x) = 0 <=> x = 0 lub x = 2.

Pizy pomocy pochodnej ustalimy przedziały monotoniczności rozważanej funkcji. Mamy /'(r) > 0 3x(x - 2) > 0 «=> x < 0 lub x > 2.

Przykłady    153

Zatem funkcja / jest rosnąca na przedziałach (-00,0), (2,00). Podobnie,

/'(*) < 0 <=> 0 < * < 2.

Funkcja / jest zatem malejąca na przedziale (0,2). Z powyższych rozważań wynika, ic funkcja / ma w punkcie z = 0 maksimum lokalne właściwe równe 4, a w punkcie ż = 2 minimum lokalne właściwe równe 0.

VI.    Przechodzimy obecnie do badania drugiej pochodnej. Mamy Dj* = R oraz /"(z) = 6x - 6. Z warunku koniecznego szukamy punktów, w których funkcja / może mieć punkty przegięcia; Mamy

f"{x) = 0 <=> 6(z — i) = 0 <=> z = 1.

Pizy pomocy drugiej pochodnej ustalimy przedziały wypukłości rozważanej funkcji Mamy /'(z) > 0 <=> 6(z — l) > 0 <=> z > 1.

Funkcja / jest zatem ściśle wypukła na przedziale (l,oo). Ponadto,

/"(z) < 0 <$=* x < l.

Funkcja / jest zatem ściśle wklęsła na przedziale (-oo, 1). Z powyższych rozważań wynika. że punkt (1.2) jest punktem przegięcia wykresu badanej funkcji.

VII.    Wyniki uzyskane w punktach I-VI zestawiamy w tabeli:

		-oo<x< 0	•	0<*<|	1 |	»<■<»	f *	!<*<» «
/”(•)	— 00	.	[ J	%	1 ^0 1	1 +	[ y 1	-ł- ! oo
/'{»>	-	+	1 i 1		-3 '		jo	+.: ; » 1
/(*)	•Ol	,---	*		1' sfT]		1 ^0	• co
			ma*.		p.p.		min.

Vm. Na podstawie tabeli sporządzamy wykres funkcji.