Pochodna funkcji (3)

3

Pochodną —{jh(x)'j oblicza się jako pochodną funkcji złożonej według wzoru (6):

dx

dx    dh dx

Stąd i z poprzedniego wzoru otrzymuje się:

y

(x) =    ■ V h{x) + g(x) •    (jh(x)) =    ■ V h(x) + g(x) •    =

dx    dx    dx    dh dx

■ • 2x — ■\x +1 + ■

x +1 x~ 2x +1

^ + -

2 ylx² +1    a/x² +1 Vx² +1 Vx +1 Vx² +1

W powyższych rachunkach zamiast różniczkowania funkcji pierwiastkowej y(x) = ■\jf(x) można wykonać różniczkowanie funkcji potęgowej y(x) = /(x)^1/2 = (x⁴+x²)' " zgodnie z

Tabl. 1 wiersz 2.

Zadanie 2. Obliczyć pochodną funkcji y(x) =

x +1

Rozwiązanie. Korzystamy ze wzoru (5) na różniczkowanie ilorazu funkcji:

d	^ X + l^l		(d \ - (x + l) \dx y	r / ix d4x r / ix ^1 2x x+i •Vx (x +1) • - 1-vx (x +1) • r dx _ 2vx _ 2Vx 2vx _ x-l
dx	v Vx )			(TjcJ * * 2xVx

Zadanie 3. Obliczyć pochodną funkcji _y(x) = x~e^x .

Rozwiązanie 1. Funkcję y traktujemy jak iloczyn funkcji x² oraz funkcji złożonej e^g(x), gdzie g(x) = x³. Pochodną iloczynu (x²)-(e^gW) obliczamy na podstawie wzoru (4), a pochodną funkcji złożonej e^s(x) obliczamy na podstawie wzoru (6):

y

—(x²) • e^gW + x² •—(e^g ) •= 2x-e^gW + X² • e^gW • fcx²) = (2x + 3x⁴V . dx^K ’]    dg^y ’ dx    \    \    r

Rozwiązanie 2. Obliczenie na podstawie wzoru (7).

lnj/(x) = lnx²e^J = 21nx + x³lne = 21nx + x³ d ,    , _x d u,    2

—lnv(x) = —(21nx + x³) = —i- 3x² dx    dx^X    ’ x

y\x) = y(x)^-\ny(x) = x²e^x ^² dx    yx

+ 3x² ] = (2x + 3x⁴y\