168 Badanie funkcji
Rozwiązanie
£? u3
Kieda punkt 5(p.ę) należy do luku elipsy —- + Ł. = i leżącego w pierwszej ćwiartce układu (rysunek). Wtedy 0 < p < 2 oraz q = Z)jl - y- Równanie stycznej do elipsy
9 |
V B | |
0 |
3 A * |
w pnnkrir S(p,ę) ma postać
Styczna ta przędna oś Oz w punkcie A o współrzędnych ( —,0 ] i oś Oy w punkcie
li
Pole AOAB
B o współrzędnych wyraża się wzorem
18
Plp) = i\OA\\OB\ = - =
grfw 0 < p < 2. Ponieważ funkcja P przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc jej wartość najmniejsza będzie realizowana w punkcie, w którym funkcja /(p) = p3 (4 - p2) , tj. ŁwW wyrażenia z mianownika funkcji P. przyjmie wartość największą. Szukamy zatem wsrtnśri największej funkcji / na przrdzialr (0.2). Podstawiając u = p3, otrzymamy funkcję kwadratową p(u) = u(4-u), gdzie 0 < u < 4. Funkcja kwadratowa p(u) = -u2 + 4u pazyjmuje wartość największą na przedziale (0,4) w punkcie u = tio = — = 2.
Stąd wynika, że funkcja P przyjmuje wartość najmniejszą w punkcie p = po = y/2. Punkt 5, dla którego A0A8 przyjmuje najmniejsze pale, ma współrzędne
Przykład 6.13
Miaoa Mi. Ma położone po przeciwnych stronach rzeki trzeba połączyć drogą z nrrarra prostopadłym do brzegów rzeki o prostoliniowych i równoległych brzegach (rysunek) W którym miejscu należy zbudować most, aby droga łącząca te miasta miała najmniejszą długość? Wielkośd znane: / = 21 km, aj = 2 km, oa = 12 km.
Rozwiązanie
Drap łącząca mineta Mi i Afj xna długość
d(x) * \MiA\ + \AB\ + |BAfa|
gdzie 0 $ x < / Ponieważ odcinek AB (mott) ma stałą długość, więc wystarczy znaleźć wartość najmniejszą funkcji
/(*) = \A3 + o? + v/(£-*)>+o3
na przedziale |0./|. Korzystając z warunku koniecznego znajdziemy punkty, w których funkcja / może mieć ekstrema lokalne. Mamy
(I-*)
Stąd
(/-X)
V(/-*)a + a3 (l7 -2xl + x7 + a?) = (f2 - 2xZ + x2) (x7 + a2)
0|f
(a? - a?) x3 + 2Za3x - /2a? = 0
<=> Z = ZOB
Punkt aro =
Ol /
aa + «i
należy do przedziału (0,/|. Ponieważ pochodna f w punkcie aro
aj + a 2
zmienia wartości z ujemnych na dodatnie, więc funkcja J ma w tym punkcie minimum lokalne właściwe. Jest to jednocześnie punkt, w którym funkcja / przyjmuje wartość najmniejszą na przedziale |0, /]. Most należy wybudować w odległości xo = 3 km od miasta A/j (licząc wzdłuż brzegu rzeki).
i
się pod kątem prostym. Położenia |
po- |
♦ |
Pm - |
czątkowe samochodów podano na |
ry- |
T * |
• Przykład 6.14
Dwa samochody poruszają się ze stałymi szybkościami ni = 120 km/h, na = fiOkm/h po autostradach przecinających
rft
sunku: di = 50 km, d? s 20 km. Kiedy odległość między samo cho darni będzie najmniejsza?
Rozwiązanie
Niech Pi (£)t Pi(t) oznaczają odpowiednio położenia pierwszego i drugiego samochodu w chwili t. gdzie t ^ 0. Wtedy w układzie współrzędnych przyjętym na rysunku mamy P*(0 = (di - vi 1,0). Pi(t) = (0.da - t»aC) . Odległość między samochodami wyraża się wzorem
= \Z(f? + vl) t* - 2 (d,t., + «fa«a) t + (<ł? + A) dUl>a